1、- 1 -平面向量的数量积分层训练进阶冲关A组 基础练(建议用时 20分钟)1.若|m|=4,|n|=6,m 与 n的夹角为 135,则 mn=( C )A.12 B.12 C.-12 D.-122.已知|a|=9,|b|=6 ,ab=-54,则 a与 b的夹角 为 ( B )A.45 B.135 C.120 D.1503.已知向量 a=(1,-2),b=(x,4),且 ab,则|a-b|= ( B )A.5 B.3 C.2 D.24.已知向量 a,b的夹角为 120,|a|=1,|b|=5,则|3a-b|等于 ( A )A.7 B.6 C.5 D.45.已知 ab,|a|=2,|b|=3,且
2、 3a+2b与 a-b 垂直,则 等于 ( A )A. B.- C. D.16.已知 A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为 A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则ABC 的形状为 ( C )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.以上均不正确7.已知|a|=2,|b|=10,=120,则 b在 a方向上的投影是 -5 ,a 在 b方向上的投影是 -1 . 8.已知 a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,i,j为相互垂直的单位向量,那么 ab=-63 . 9.已知 =(-2,1), =(0,2),O为坐标原点,且 , ,则点 C的坐标是 (-2,6) . 10.
3、已知 a=(,2),b=(-3,5),且 a与 b的夹角为锐角,则 的取值范围是. - 2 -11.已知非零向量 a,b满足|a|=1,(a-b)(a+b)= ,且 ab= .(1)求向量 a,b的夹角.(2)求|a-b|.【解析】(1)设向量 a,b的夹角为 ,因为(a-b)(a+b)= ,所以 a2-b2= ,即|a| 2-|b|2= ;又|a|=1,所以|b|= .因为 ab= ,所以|a|b|cos = ,所以 cos = .所以向量 a,b的夹角为 45.(2)因为|a-b| 2=(a-b)2=|a|2-2|a|b|cos +|b| 2= ,所以|a-b|= .12.已知向量 a=(
4、1,2),b=(x,1),(1)当 x为何值时,使(a+2b)(2a-b)?(2)当 x为何值时,使(a+2b)(2a-b)?【解析】(1)由 a=(1,2),b=(x,1),得a+2b=(2x+1,4),2a-b=(2-x,3).因为(a+2b)(2a-b),所以 3(2x+1)-4(2-x)=0,解得 x= .(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(2x+1)(2-x)+12=0,解得 x=-2或 x= .B组 提升练(建议用时 20分钟)- 3 -13.定义:|ab|=|a|b|sin ,其中 为向量 a与 b的夹角,若|a|=2,|b|=5,ab=-6,则|ab|等于 ( B )A.
5、-8 B.8 C.-8或 8 D.614.设非零向量 a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则等于 ( B )A.150 B.120 C.60 D.3015.如图所示,已知点 A(1,1),单位圆上半部分上的点 B满足 =0,则向量 的坐标为. 16.如图所示,在ABC 中,C=90且 AC=BC=4,点 M满足 =3 ,则 =4 . 17.在ABC 中,O 为中线 AM上的一个动点,若 AM=2,求 ( + )的最小值.【解析】设 =t ,0t1,则 + =2 =2t ,= + =t - =(t-1) ,所以 ( + )=2(t-1)t =8(t-1)t=8t2-8t=8 -2.
6、- 4 -所以当 t= 时, ( + )有最小值-2.18.已知平面上三个向量 a,b,c的模均为 1,它们相互之间的夹角均为 120.(1)求证:(a-b)c.(2)若|ka+b+c|1(kR),求 k的取值范围.【解析】(1)因为|a|=|b|=|c|=1,且 a,b,c之间的夹角均为 120,所以(a-b)c=ac-bc=|a|c|cos 120-|b|c|cos 120=0.所以(a-b)c.(2)因为|ka+b+c|1,所以(ka+b+c) 21,即 k2a2+b2+c2+2kab+2kac+2bc1,所以 k2+1+1+2kcos 120+2kcos 120+2cos 1201.所
7、以 k2-2k0,解得 k2.所以实数 k的取值范围为 k2.C组 培优练(建议用时 15分钟)19.在四边形 ABCD中,已知 AB=9,BC=6, =2 .(1)若四边形 ABCD是矩形,求 的值.(2)若四边形 ABCD是平行四边形,且 =6,求 与 夹角的余弦值.【解析】(1)因为四边形 ABCD是矩形,所以 =0.由 =2 ,得 = , = =- .所以 =( + )( + )= = - - =36- 81=18.(2)由题意, = + = + = + ,- 5 -= + = + = - ,所以 = =- - =36- -18=18- .又 =6,所以 18- =6,所以 =36.设
8、 与 的夹角为 ,又 =| | |cos =96cos =54cos ,所以 54cos =36,即 cos = .所以 与 夹角的余弦值为 .20.已知 =(4,0), =(2,2 ), =(1-) + ( 2).(1)求 及 在 上的投影.(2)证明 A,B,C三点共线,并在 = 时,求 的值.(3)求| |的最小值.【解析】(1) =8,设 与 的夹角为 ,则 cos = = ,所以 在 上的投影为| |cos =4 =2.(2) = - =(-2,2 ), = -=(1-) -(1-) =(-1) ,因为 与 有公共点 B,- 6 -所以 A,B,C三点共线.当 = 时,-1=1,所以 =2.(3)| |2=(1-) 2 +2(1-) + 2 =16 2-16+16=16 +12.所以当 = 时,| |取到最小值 2 .
