1、- 1 -平面向量的基本定理及坐标分层训练进阶冲关A组 基础练(建议用时 20分钟)1.已知ABCD 中,DAB=30,则 与 的夹角为 ( D )A.30 B.60 C.120 D.1502.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( B )A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=3.如果用 i,j分别表示 x轴和 y轴方向上的单位向量,且 A(2,3),B(4,2),则 可以表示为( C )A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j4.若 AD是
2、ABC 的中线,已知 =a, =b,则以 a,b为基底表示 = ( B )A. (a-b ) B. (a+b) C. (b-a) D. b+a5.已知 M(-2,7),N(10,-2),点 P是线段 MN上的点,且 =-2 ,则 P点的坐标为 ( D )A.(-14,16) B.(22,-11)C.(6,1) D.(2,4)6.已知向量 a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)(a-2b),则实数 x的值为 ( D )A.-3 B.2 C.4 D.-67.若 A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 +2 = (-4,9) . 8.已知向量 a,b是一组基底,实数 x,y满足(3x
3、-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,则 x-y的值为 3 . 9.已知 O是坐标原点,点 A在第二象限,| |=6,xOA=150,则向量 的坐标为 (-3 ,3) . 10.已知向量 a=(1,2),b=(-2,3),若 a+b 与 a+b共线,则 与 的关系是- 2 -= . 11.已知 a=(1,0),b=(2,1).(1)当 k为何值时,ka-b 与 a+2b共线?(2)若 =2a+3b, =a+m b且 A,B,C三点共线,求 m的值.【解析】(1)k a-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为 k a-b与 a+2
4、b共线,所以 2(k-2)-(-1)5=0,解得 k=- .(2)因为 A,B,C三点共线,所以 = ,R,即 2a+3b=(a+m b),所以 解得 m= .12.设 e1,e2是不共线的非零向量,且 a=e1-2e2,b=e1+3e2.(1)证明:a,b 可以作为一组基底.(2)以 a,b为基底,求向量 c=3e1-e2的分解式.(3)若 4e1-3e2=a+b,求 , 的值.【解析】(1)若 a,b共线,则存在 1R,使 a= 1b,则 e1-2e2= 1(e1+3e2).由 e1,e2不共线,得 所以 1不存在,故 a与 b不共线,可以作为一组基底.(2)设 c=ma+nb(m,nR)
5、,则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.所以 所以 c=2a+b.(3)由 4e1-3e2=a+b,得4e1-3e2=(e 1-2e2)+(e 1+3e2)- 3 -=(+)e 1+(-2+3)e 2.所以 故所求 , 的值分别为 3和 1.B组 提升练(建议用时 20分钟)13.AD与 BE分别为ABC 的边 BC,AC上的中线,且 =a, =b,则 = ( B )A. a+ b B. a+ bC. a- b D.- a+ b14.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b,如果 cd,那么 ( D )A
6、.k=1且 c与 d同向B.k=1且 c与 d反向C.k=-1且 c与 d同向D.k=-1且 c与 d反向15.已知向量 =(3,-4), =(6,-3), =(5-m,-3-m).若点 A,B,C能构成三角形,则实数 m应满足的条件为 m . 16.已知 A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点 C在AOB 内,|OC|=2 ,且AOC= .设 =+ (R),则 = . 17.在平行四边形 ABCD中, =a, =b,(1)如图 1,如果 E,F分别是 BC,DC的中点,试用 a,b分别表示 , .(2)如图 2,如果 O是 AC与 BD的交点,G 是 DO的中点,试用 a,b表示 .
7、- 4 -【解析】(1) = + = += - =- a+b.= + = - =a- b.(2) = - =b-a,因为 O是 BD的中点,G 是 DO的中点,所以 = = (b-a),所以 = + =a+ (b-a)= a+ b.18.已知 A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若 A,B,C三点共线,求 a与 b之间的数量关系.(2)若 =2 ,求点 C的坐标.【解析】(1)若 A,B,C三点共线,则 与 共线.=(3,-1)-(1,1)=(2,-2), =(a-1,b-1),所以 2(b-1)-(-2)(a-1)=0,所以 a+b=2.(2)若 =2 ,则(a-1,b-1)=
8、(4,-4),所以 所以所以点 C的坐标为(5,-3).C组 培优练(建议用时 15分钟)19.如图所示,已知AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), = , = ,AD与 BC相交于点 M,求点 M的坐标.- 5 -【解析】因为 = = (0,5)= ,所以 C .因为 = = (4,3)= ,所以 D .设 M(x,y),则 =(x,y-5),= = .因为 ,所以- x-2(y-5)=0,即 7x+4y=20.又 = , = ,因为 ,所以 x-4 =0,即 7x-16y=-20.联立,解得 x= ,y=2,故点 M的坐标为 .20.在直角坐标系 xOy中,已知点 A(1,
9、1),B(2,3),C(3,2),(1)若 + + =0,求 的坐标.(2)若 =m +n (m,nR),且点 P在函数 y=x+1的图象上,求 m-n.【解析】(1)设点 P的坐标为(x,y),因为 + + =0,- 6 -又 + + =(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y).所以 解得所以点 P的坐标为(2,2).故 =(2,2).(2)设点 P的坐标为(x 0,y0),因为 A(1,1),B(2,3),C(3,2),所以 =(2,3)-(1,1)=(1,2),=(3,2)-(1,1)=(2,1),因为 =m +n ,所以(x 0,y0)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n),所以两式相减得 m-n=y0-x0,又因为点 P在函数 y=x+1的图象上,所以 y0-x0=1,所以 m-n=1.
