1、第8讲 与三角函数有关的应用题,考试要求 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(B级要求)；2.掌握三角函数模型的应用，会运用三角函数知识解决实际中的优化问题.,知 识 梳 理,1.解三角函数模型应用问题的一般步骤是：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，建立数学模型.(3)求解：利用三角形，求得数学模型的解.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解. 2.在建立三角函数模型求解与实际生活有关的优化问题时，常以三角函数的定义、图象与性质、三角恒等变换以及正余弦定理等知识为载体
2、，以不等式、导数为工具进行求解，但结果要符合实际意义.,1.某人的血压满足函数关系式f(t)24sin 160t110，其中，f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数是_.,诊 断 自 测,答案 80,解 (1)设OPQ，在RtOAQ中，OA3，,因为为锐角，所以cos 0，,所以当0时，f()最大，即tan OPQ最大，,当(0，0)时，f()0，f()单调递增；,考点一 三角函数在物理中的应用,(1)作出函数的图象； (2)当单摆开始摆动(t0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？,解 (1)利用
3、“五点法”可作出其图象(列表略).,(3)离开平衡位置6 cm.,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.,规律方法 三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.,(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.,考点二 三角函数在实际生活中的应用 角度1 以三角函数定义为载体的三角问题,【例21】 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，且60 s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始
4、边，逆时针转动角到OB，设B点与地面间的距离为h.,(1)求h与间关系的函数解析式； (2)设从OA开始转动，经过t s后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？ 解 (1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.,答：缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.,到达最高点时，h10.4 m.,角度2 以三角函数图象与性质为载体的三角问题,【例22】 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：,(1)选
5、用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001). (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？ (3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？,解 (1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数yAsin(x)h来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：,由上述关系式易得港
6、口在整点时水深的近似值：,(2)货船需要的安全水深为41.55.5(米)，所以y5.5时就可以进港.,解得xA0.384 8，xB5.615 2.,因为x0，24，所以有函数周期性易得 xC120.384 812.384 8 xD125.615 217.615 2. 因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右. (3)设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y5.50.3(x2)(x2)，在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点.,通过计算可得在6时的水
7、深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6时30分之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域.,角度3 以三角恒等变换为载体的三角问题,(1)试用表示BD的长； (2)试确定点E的位置，使两条栈道长度之和最大. 解 (1)连接DC.,且BF4cos2，所以DEAF44cos2，,所以当E与C重合时，两条栈道长度之和最大.,角度4 以解三角形为载体的三角问题,(1)将三条船PO，PA，PB的长度之和表示为的函数f()，并写出此函数的定义域； (2)试确定的值，使得f(
8、)最小.,列表如下：,规律方法 解三角函数应用问题的基本步骤,【训练2】 (2018江苏卷)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.,(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin 的取值范围； (2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 解 (1)设PO的延长线交MN于H，则PHMN，所以OH10.,过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE， 故OE40cos ，EC40sin ，,则矩形ABCD的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，,过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GKKN10.,(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43， 故设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，,f()cos2sin2 sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1).,
