1、拓展深化3 与函数、导数有关的新定义问题,高考在函数与导数的命题侧重于考查导数的几何意义以及运用导数研究函数的单调性、极值、最值、零点等问题.命题时也常以此为基础作出创新，其中与函数和导数有关的新定义问题也成为高考命题的一个热点.,一、参数为双元时，建立双元的联系解决导数问题,【例1】 (2017江苏卷)已知函数f(x)x3ax2bx1(a0，bR)有极值，且导函数f(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b23a；,(1)解 由f(x)x3ax2bx1，,因为f(x)有极值，故f(x)0有实根，,因为f
2、(x)的极值点是f(x)的零点，,当a3时，f(x)0(x1)， 故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；,列表如下：,故f(x)的极值点是x1，x2.,从而a3.,(3)解 由(1)知，f(x)的极值点是x1，x2，,记f(x)，f(x)所有极值之和为h(a)，,于是h(a)在(3，)上单调递减.,因此a的取值范围为(3，6.,二、利用已知函数研究新定义函数问题,【例2】 (2018江苏卷)记f(x)，g(x)分别为函数f(x)，g(x)的导函数.若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明：函数f(x)x与g(
3、x)x22x2不存在“S点”；(2)若函数f(x)ax21与g(x)ln x存在“S点”，求实数a的值；,(1)证明 函数f(x)x，g(x)x22x2， 则f(x)1，g(x)2x2. 由f(x)g(x)且f(x)g(x)，得,因此，f(x)与g(x)不存在“S点”.,设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，得,(3)解 对任意a0，设h(x)x33x2axa. 因为h(0)a0，h(1)13aa20，且h(x)的图象是不间断的，,由f(x)g(x)且f(x)g(x)，,此时，x0满足方程组(*)，即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0，1)内的
4、一个“S点”.因此，对任意a0，存在b0，使函数f(x)与g(x)在区间(0，)内存在“S点”.,探究提高 1.一般来说，新定义下的函数有着特有的性质，在运用导数作为研究工具时一定要紧扣新定义，以确保单调性、极值(最值)、零点等性质与定义吻合，有时也涉及利用新定义求参数问题. 2.利用已知函数研究新定义函数问题，即以题目中已出现的函数为背景进行“二次加工”设计出新题.解题时要注意对原结论的运用，从而研究新函数的问题.,三、利用新定义研究函数问题,【例3】 (2018盐城三模)若对任意实数k，b都有函数yf(x)kxb的图象与直线ykxb相切，则称函数f(x)为“恒切函数”.设函数g(x)aex
5、xpa，a，pR.(1)讨论函数g(x)的单调性；(2)已知函数g(x)为“恒切函数”.()求实数p的取值范围；,解 (1)g(x)aex1， 当a0时，g(x)0时，令g(x)0得xln a， 由g(x)0得xln a，由g(x)0得xln a， 则函数g(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增. (2)()若函数f(x)为“恒切函数”，则函数yf(x)kxb的图象与直线ykxb相切， 设切点为(x0，y0)， 则f(x0)kk且f(x0)kx0bkx0b，即f(x0)0，f(x0)0. 因为函数g(x)为“恒切函数”，所以存在x0，使得g(x0)0，g(x0)0，,设m
6、(x)ex(1x)， 则m(x)xex，令m(x)0， 令m(x)0，得x0， 故m(x)在(，0)上单调递增，在(0，)上单调递减， 从而m(x)maxm(0)1， 故实数p的取值范围为(，1.,()证明 当p取最大值时，p1，a1， h(x)(exx1)exm，h(x)(2exx2)ex， 因为函数h(x)也为“恒切函数”， 故存在x0，使得h(x0)0，h(x0)0， 由h(x0)0得(2ex0x02)ex00，2ex0x020， 设n(x)2exx2，则n(x)2ex1，令n(x)0得xln 2， 令n(x)0得xln 2， 故n(x)在(，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调
7、递增， 在单调递增区间(ln 2，)上，n(0)0， 故x00，由h(x0)0，得m0.,在单调递减区间(，ln 2)上，n(2)2e20，,又n(x)的图象在(，ln 2)上连续，,此时由h(x0)0，,深化训练,1.(2018苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)x3ax2bxc，g(x)ln x.(1)若a0，b2，且f(x)g(x)恒成立，求实数c的取值范围；(2)若b3，且函数yf(x)在(1，1)上是减函数.()求实数a的值；,解 (1)函数yg(x)的定义域为(0，). 当a0，b2时，f(x)x32xc， f(x)g(x)恒成立，x32xcln x恒成立， 即cln xx32
8、x.,令(x)ln xx32x，,令(x)0，得x1，(x)在(1，)上单调递减， 当x1时，(x)max(1)1. c1.,(2)()当b3时，f(x)x3ax23xc， f(x)3x22ax3. 由题意得f(x)3x22ax30在(1，1)上恒成立，,a0，即实数a的值为0.,()函数yh(x)的定义域为(0，)， 当a0，b3，c2时，f(x)x33x2， f(x)3x23，令f(x)3x230，得x1.,当x(0，1)时，f(x)0； 当x1时，f(x)0； 当x(1，)时，f(x)0.,对于g(x)ln x，当x(0，1)时，g(x)0. 当x(0，1)时，h(x)f(x)0； 当x
9、1时，h(x)0； 当x(1，)时，h(x)0. 故函数yh(x)的值域为0，).,(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；,当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，,则(x)x21(x1)(x1)， 当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递增；,f(x)的极小值为2.,当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减. x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点.,又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，,可知,(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减.
10、,等价于f(b)bf(a)a恒成立.(*),解 (1)因为f(x)ln(1x)ln(1x)，所以,(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；,又因为f(0)0，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.,因为g(x)0(0g(0)0，x(0，1)，,综上可知，k的最大值为2.,(1)当a为何值时，x轴为曲线yf(x)的切线； (2)用minm，n表示m，n中的最小值，设函数h(x)minf(x)，g(x)(x0)，讨论h(x)零点的个数. 解 (1)设曲线yf(x)与x轴相切于点(x0，0)，,(2)当x(1，)时，g(x)ln x0，从而h(x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)无零点.,当x(0，1)时，g(x)ln x0.所以只需考虑f(x)在(0，1)的零点个数.,
