1、第9讲 函数与方程,考试要求 函数的零点与方程根的关系，一元二次方程根的存在性及根的个数的判断(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使_的实数x叫作函数yf(x)(xD)的零点.(2)几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_.(3)零点存在性定理如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；_；则函数yf(x)在(a，b)上存在零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根.,f(x)0,x轴,零点,f(a)f(b),0,2.二次函数yax2bxc(
2、a0)的图象与零点的关系,(x1，0)，(x2，0),(x1，0),诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.( )(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时，函数y2x与yx2的图象有两个交点.( )解析 (1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)x2在区间(1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(1)f(1)0.答案 (1) (2) (3) (4),2.(教材改编)函数f(x)ex3x的零点个数是_
3、.,f(x)在(1，0)内有零点，又f(x)为增函数， 函数f(x)有且只有一个零点. 答案 1,3.(教材改编)已知f(x)ax2bxc的零点为1，3，则函数yax2bxc的对称轴是_.解析 ya(x1)(x3)a(x2)2a，对称轴为x2.答案 x2,解析 转化为f(x)m(x1)方程有两个解，,即转化为yf(x)与ym(x1)有两个交点，,解析 当x0时，令g(x)ln x，h(x)x22x.画出g(x)与h(x)的图象如图：,故当x0时，f(x)有2个零点.,答案 3,考点一 函数的零点与方程的根,由图象可知|f(x)g(x)|1的实根个数为4. 答案 (1) (2)4,规律方法 (1
4、)零点存在性定理，要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. (2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (3)判断函数零点个数的方法：解方程法；零点存在性定理、结合函数的性质；数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.,(0，1); (1，2)；(2，4); (4，). (2)已知函数f(x)2x3x，方程f(x)0的根的个数为_.,(2)令f(x)0，则2x3x，在同一平面直角坐标系中分别作出y2x和y3x的图象，如图所示，由图知函数y2x和y3x的图象有2个交点，所以方程的根的个数为2.,在同一坐标系中作出两
5、个函数ysin 2x与函数y|ln(x1)|的大致图象如图所示.,观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.,答案 (1) (2)2 (3)2,考点二 二次函数的零点问题,【例2】 已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1，2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1，2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解 (1)因为不等式f(x)0的解集为1，2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2，得2x23x10，,规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用
6、一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.,(2)(2019泰州中学质检)关于x的一元二次方程x22(m3)x2m140有两个不同的实根，且一根大于3，一根小于1，则m的取值范围是_. 解析 (1)题目转化为求方程f(x)x的根，,(2)设f(x)x22(m3)x2m14，,考点三 函数零点的应用,【例3】 (1)已知f(x)|x23x|，若f(x)a恰有四个互异的实数根，则a的取值范围是_.(2)已知函数f(x)|x23x|，xR，若方程f(x)a|x1|0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围是_.,解析 (1)作出y1|x23x|，y2a的图象如下：
7、,由图可知f(x)a|x1|0有4个互异的实数根等价于y1|x23x|与y2a|x1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，,消去y得x2(3a)xa0有两个不等实根， 所以(3a)24a0， 即a210a90， 解得a9. 又由图象得a0，09.,(3)作出函数yf(x)与ya的图象，根据图象交点个数得出a的取值范围.,规律方法 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.,显然，x0是方程的一个实数根.,f(x)为R上的单调递减函数.,
