1、第8讲 函数的图象,考试要求 1.点的坐标与函数图象的关系(A级要求)；2.图象的平移、对称、伸缩变换及应用(B级要求)；3.函数图象的应用研究函数的性质、求解方程解的个数、不等式的解等(B级要求).,知 识 梳 理,1.利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.,2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换,f(x)k,f(x),f(x),f(x),logax,(3)伸缩变换,|f(x)|,f(|x|),重要结论：若函数yf
2、(x)满足f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)，则f(x)的图象关于直线xa对称.,函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称. 函数yf(x)与y2bf(2ax)的图象关于点(a，b)对称.,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到.( )(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称.( )(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同.( )(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.
3、( ),解析 (1)yf(x)的图象向左平移1个单位得到yf(1x)，故(1)错. (2)两种说法有本质不同，前者为函数自身关于y轴对称，后者是两个函数关于y轴对称，故(2)错. (3)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两函数图象不同，故(3)错. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(教材改编)设Mx|0x2，Ny|0y2，给出如图四个图形：,其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有_(填序号). 解析 中，因为在集合M中，当1x2时，在N中无元素与之对应，所以不是函数；符合函数的定义，所以是函数；中，x2对应的元素y3N，所以不是函数；中，当x1时，
4、在N中有两个元素与之对应，所以不是函数.因此只有是从集合M到集合N的函数. 答案 ,3.(2019泰州一检)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)的解析式为_.解析 依题意，与曲线yex关于y轴对称的曲线是yex，于是f(x)相当于yex向左平移1个单位的结果，f(x)e(x1)ex1.答案 f(x)ex1,4.(2018浙江卷改编)函数y2|x|sin 2x的图象可能是_(填序号).,答案 ,5.若函数yf(x)在x2，2的图象如图所示，则当x2，2时，f(x)f(x)_.,解析 由于yf(x)的图象关于原点对称f(x)f(x)f(x)f(x)0
5、. 答案 0,考点一 作函数的图象,【例1】 作出下列函数的图象：,规律方法 画函数图象的一般方法 (1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.,【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin |x|.,函数y|lg x|的图象，如图.,(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象
6、如图.,考点二 函数图象的辨识,(2)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点.点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为_(填序号).,答案 (1) (2),规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从周期性，判断图象的循环往复；从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)抓住函数的特征，定量计算 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.,【训练2】 (1)函数y2x2e|x|在2，2
7、的图象大致为_(填序号).,解析 (1)f(x)2x2e|x|，x2，2是偶函数， 又f(2)8e2(0，1)，排除； 设g(x)2x2ex，x0，则g(x)4xex. 又g(0)0，g(2)0， g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点， f(x)2x2e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除，故填.,不正确，只有满足. 答案 (1) (2),考点三 函数图象的应用 角度1 研究函数的性质,【例31】 (1)已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是_(填序号).f(x)是偶函数，递增区间是(0，)；f(x)是偶函数，递减区间是(，1)；f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)；f
8、(x)是奇函数，递增区间是(，0).(2)(2018全国卷改编)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是_(填序号).yln(1x)；yln(2x)；yln(1x)；yln(2x).,画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1，1)上单调递减.,(2)法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数f(x)ln x的图象上，所以yln(2x).故填. 法二 由题意知对称轴上的点(1，0)在函数yln x的图象上也在所求函数的图象上，代
9、入各函数表达式逐一检验，排除，填. 答案 (1) (2),角度2 解不等式,(2)已知函数yf(x)的图象是圆x2y22上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)f(x)2x的解集是_.,解析 (1)作出函数f(x)的图象如图所示，所以f(x)是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f(x22)f(x)0f(x22)f(x)，即x22x，解得2x1，所以原不等式的解集为(2，1).,角度3 求参数的取值或范围,图,当0a1时，f(x)的图象如图所示.,易知函数yf(x)b最多有一个零点.当a1时，f(x)的图象如图所示.,图,综上，a(，0)(1，).,图,答案 (1)(，0)(1，) (2),图,
10、规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性. (2)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.,【训练3】 (1)设函数yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，且f(2)f(4)1，则a_.,解析 (1)设(x，y)是函数yf(x)图象上任意一点，它关于直线yx的对称点为(y，x)，由yf(x)的图象与y2xa的图象关于直线yx对称，可知(y，x)在y2xa的图象上，即x2ya，解得ylog2(x)a，所以f(2)f(4)log22alog24a1，解得a2. (2)如图，当xm时，f(x)|x|；当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数，若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m0，m23m0，解得m3.,(3)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点.作出直线yxa与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.,答案 (1)2 (2)(3，) (3)1，),
