1、第5讲 二次函数与幂函数,知 识 梳 理,1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如_的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数.(2)常见的五种幂函数的图象,yx,(3)常见的五种幂函数的性质,0，,y|yR，,且y0,2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)_.顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)，顶点坐标为_.两点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0).,ax2bxc(a0),(m，n),(2)二次函数的图象和性质,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(2)当n0时，幂函数yxn在(0，)上是增函数.( ) (3)二次函数yax2bxc(xR)不可能是偶函数.(
2、),诊 断 自 测,(3)由于当b0时，yax2bxcax2c为偶函数，故(3)错误.,答案 (1) (2) (3) (4),2.若幂函数y(m23m3)xm2m2的图象不经过原点，则实数m的值为_.,经检验m1或2都适合. 答案 1或2,3.已知f(x)x2pxq满足f(1)f(2)0，则f(1)的值是_.解析 由f(1)f(2)0知方程x2pxq0的两根分别为1，2，则p3，q2，f(x)x23x2，f(1)6.答案 6,答案 cab,5.(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_.解析 由题意知，y1x，y0，x0，0x1，,考点一 幂函数的图象和性质,答案 (
3、1)(3，5) (2),规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性； (2)的正负：当0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,【训练1】 (1)幂函数yf(x)的图象过点(4，2)，则幂函数yf(x)的图象是_(填序号).,(2)已知幂函数f(x)(n22n2)xn23n(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为_.,解析 (1)设f(x)x(R)，则42，
4、,(2)幂函数f(x)(n22n2)xn23n在(0，)上是减函数，,又n1时，f(x)x2的图象关于y轴对称，故n1. 答案 (1) (2)1,考点二 求二次函数的解析式,【例2】 (1)(2019南京模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0，0)和(2，0)，且有最小值1，则f(x)_.(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意xR，都有f(2x)f(2x)，则f(x)的解析式为_.,解析 (1)设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0)，所以f(x)ax22ax，,得a1，所以f(x)x22x.,(2)f(2x)f(2x)对任意
5、xR恒成立， f(x)的对称轴为x2. 又f(x)的图象被x轴截得的线段长为2. f(x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0)， 又f(x)的图象过点(4，3)，3a3，a1， 所求f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3)， 即f(x)x24x3. 答案 (1)x22x (2)f(x)x24x3,规律方法 求二次函数解析式的方法,【训练2】 (1)若函数f(x)(xa)(bx2a)(常数a，bR)是偶函数，且它的值域为(，4，则该函数的解析式f(x)_.(2)已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，则该二次函数的解析式为_
6、.解析 (1)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，f(x)bx2a(b2)x2a2为偶函数，则a(b2)0，当a0时，f(x)bx2，此时它的值域不可能为(，4；当b2时，f(x)2x22a2，又f(x)的值域为(，4，2a24，故f(x)2x24.,(2)法一 (利用“一般式”解题) 设f(x)ax2bxc(a0).,所求二次函数为f(x)4x24x7.,法二 (利用“顶点式”解题) 设f(x)a(xm)2n(a0). f(2)f(1)，,法三 (利用“零点式”解题) 由已知f(x)10的两根为x12，x21， 故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)， 即f(x)ax2ax2a
7、1.,解得a4或a0(舍). 所求函数的解析式为f(x)4x24x7. 答案 (1)2x24 (2)f(x)4x24x7,考点三 二次函数的图象与性质 角度1 二次函数的单调性与最值、恒成立问题,【例31】 (1)已知函数f(x)ax22x(0x1)，求函数f(x)的最小值.(2)已知函数f(x)x2ax3a，若x2，2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围.(3)已知f(x)x22x1，f(x)xk在区间3，1上恒成立，试求k的取值范围.解 (1)当a0时，f(x)2x在0，1上单调递减，f(x)minf(1)2.当a0时，f(x)ax22x的图象开口向上，,f(x)ax22x的对称轴在0，1
8、内，,f(x)ax22x在0，1上单调递减， f(x)minf(1)a2.,f(x)在0，1上单调递减.f(x)minf(1)a2. 当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下，,(2)要使f(x)0恒成立，则函数在区间2，2上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a).,又4a4，故4a2.,得a7，又a4，故7a4， 综上a的取值范围是7，2.,(3)由题意知，x22x1xk在区间3，1上恒成立， 即kx2x1在区间3，1上恒成立， 令g(x)x2x1，x3，1，,故k的取值范围是(，1).,则g(x)ming(1)1，所以k1，,角度2 二次函数的图象及应用,解析 由f(x)f(2x
9、)知函数f(x)的图象关于直线x1对称.又y|x22x3|(x1)24|的图象也关于直线x1对称，所以这两函数的交点也关于直线x1对称.,答案 m,规律方法 1.(1)对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a0，当题目条件中未说明a0时，就要讨论a0和a0两种情况. (2)二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定. (3)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.,2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一
10、般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.,【训练3】 (1)若关于x的不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是_.(2)已知函数yx22x3在闭区间0，m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_.,(2)如图，由图象可知m的取值范围是1，2.,解析 (1)不等式x24x2a0在区间(1，4)内有解等价于a(x24x2)max， 令f(x)x24x2，x(1，4)， 所以f(x)f(4)2，所以a2.,(3)当3x0时，f(x)|x|恒成立等价转化为x22xa2x恒成立，即ax23x2恒成立，所以a(x23x2)min2；,
