1、第4讲 函数的奇偶性与周期性,考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断(B级要求)；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性(A级要求)；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数的奇偶性,f(x),f(x),f(x),f(x),y轴,原点,2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于_对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_对称).(2)奇函数的图象关于_对称，偶函数的图象关于_对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)_.(4)定义在(，)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.,
2、原点,原点,原点,y轴,0,(5)对称性的三个常用结论 若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称； 若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称； 若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b，0)中心对称.,3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数
3、就叫做f(x)的_正周期.(3)函数周期性的三个常用结论：若f(xa)f(x)，则T2a，,f(xT)f(x),存在一个最小,最小,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)上是偶函数.( )(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.( )(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.( )(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.( )解析 (1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错误.(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意
4、义时才满足f(0)0，(2)错误.答案 (1) (2) (3) (4),2.(2019苏州暑假测试)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)2xx2，则f(0)f(1)_.解析 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)0，f(1)f(1)(21)1，因此f(0)f(1)1.答案 1,3.(2017全国卷改编)已知函数f(x)ln xln(2x)，则下列说法正确的是_(填序号).f(x)在(0，2)上单调递增；f(x)在(0，2)上单调递减；yf(x)的图象关于直线x1对称；yf(x)的图象关于点(1，0)对称.,答案 ,考点一 函数奇偶性的判断,【例1】 判断下列函数的奇偶性：
5、,因此f(x)f(x)且f(x)f(x)， 函数f(x)既是奇函数又是偶函数.,函数f(x)为奇函数.,(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称. 当x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 当x0时，x0， 则f(x)(x)2xx2xf(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立， 函数f(x)为奇函数.,规律方法 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系. 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(
6、x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.,【训练1】 (1)给出下列四个函数：,其中既不是奇函数，也不是偶函数的是_(填序号).,答案 (1) (2)2,考点二 函数的周期性,【例2】 (1)(2018全国卷改编)已知f(x)是定义域为(，)上的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_.,解析 (1)法一 f(x)是定义域为(，)的奇函数，f(x)f(x)，且f(0)0，f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)，f(x)f(2x)，f(2x)f(x)，f(4x)f(2x)f(x)，f(x)是周期函数，且一个周期为4，f(4)
7、f(0)0，f(2)f(11)f(11)f(0)0，f(3)f(12)f(12)f(1)2，f(1)f(2)f(3)f(4)f(50)120f(49)f(50)f(1)f(2)2.,故函数的周期为4. f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5). 22.53，由题意得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5. 答案 (1)2 (2)2.5,规律方法 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.,【训练2】 (1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 01
8、7)f(2 019)_.,解析 (1)由题意得g(x)f(x1)， 又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数， g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)， f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4， f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)， 又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.,答案 (1)0 (2)24,考点三 函数性质的综合应用 角度1 求函数值,解析 (1)易知f(5)f(1)1a，f(5)f(1)|11|0，结合f(5)f(5)可得1a0，解得a1，故f(2a)f(2)|12|1.,
9、得f(x)f(x1)，f(6)f(1)， 又由题意知f(1)f(1)，且f(1)(1)312. 因此f(6)f(1)2. 答案 (1)1 (2)2,角度2 求参数值,(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，,即3a2b2.,即b2a. 由得a2，b4，从而a3b10. 答案 (1)1 (2)10,角度3 求取值范围,(2)(2018南京盐城、连云港二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x.若f(a)f(a)4，则实数a的取值范围为_.,规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
10、(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值. (3)函数单调性与奇偶性的综合.注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性. (4)周期性与奇偶性的综合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. (5)单调性、奇偶性与周期性的综合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.,(2)若定义域为R的函数f(x)在(4，)上为减函数，且函数yf(x4)为偶函数，则f(2)，
11、f(3)的大小关系为_. (3)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大小关系为_. 解析 (1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0， 又f(x)在R上的周期为2，f(2)f(0)0.,(2)yf(x4)为偶函数，f(x4)f(x4)， 因此yf(x)的图象关于直线x4对称，f(2)f(6)，f(3)f(5). 又yf(x)在(4，)上为减函数，f(5)f(6)，所以f(3)f(2). (3)法一 易知g(x)xf(x)在R上为偶函数， 奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数. 又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)， g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab. 法二 (特殊化)取f(x)x，则g(x)x2为偶函数且在(0，)上单调递增，又3log25.120.8，从而可得cab. 答案 (1)2 (2)f(2)f(3) (3)bac,
