1、第3讲 函数的值域与最值,考试要求 1.函数的值域、最大值、最小值及其求法(B级要求)；2.运用函数图象研究函数的值域与最值(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量；x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.,2.函数的最值,f(x)M,f(x)M,f(x0)M,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)函数y|x1|和yln x，x1，)值域相同.( )(2)函数yx22x，x(1，3)有最大值.( )(3)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到.( )(4)分段函数若有最
2、大值，则最大值可以有多个.( )解析 (2)中函数在(1，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，无最大值；(4)中分段函数其实是一个函数，最大值至多一个.答案 (1) (2) (3) (4),诊 断 自 测,答案 (4，2(1，4,3.已知函数f(x)x22x1的定义域为0，3，则f(x)的值域为_.解析 f(x)x22x1在0，1上单调递增，在1，3上单调递减，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(3)2.所以f(x)2，2.答案 2，2,答案 2,考点一 确定函数的最值,当x1时，f(x)x22x(x1)21在(，1上单调递增，则f(x)f(1)1， 综上可知，f(x)的最大值
3、为1.,(2)法一 (基本不等式法),令f(x)0，得x4或x2(舍去). 当14时，f(x)0，f(x)在(4，)上是递增的， 所以f(x)在x4处取到极小值也是最小值，即f(x)minf(4)8. 答案 (1)3 1 (2)8,规律方法 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间的极值，最后结合端点值，求出最值. (5)换元法：对比较复杂的函数
4、可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.,故函数f(x)的最大值为2. 答案 (1)1 (2)2,考点二 求函数的值域,解析 (1)因为x20，所以x222，,故函数的值域为7，).,规律方法 求函数值域的常用方法 遇到求值域的问题时，应首先考虑有哪几种基本方法，一般方法是什么，特殊方法是什么，在多种方法中选出最优方法.求函数值域没有通用方法和固定模式，要靠自己积累经验，掌握规律.函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意不等式、二次函数及函数的单调性在确定函数最值中的应用.求函数值域，不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域的制约作用. (1)观察法 函数解析式结构简单
5、，可直接看出其单调性或某一部分的范围，可结合不等式求出其值域.,(5)分离常数法(部分分式法) 分子、分母是一次式的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法. (6)数形结合法 对于容易画出函数图象的求值域问题可画出函数图象，从图象上读出值域. (7)函数有界性法 直接求函数的值域有困难时，可以对解析式进行变形，利用已学过的函数的有界性来确定原函数的值域.,【训练2】 求下列函数的值域：,(4)(基本不等式法)令tx1，则xt1(t0)，,故所求函数的值域为 2，).,y5，函数的值域为5，).,故所求函数的值域为(1，1).,考点三 恒成立与最值问题,f(x2)f(x1)0，
6、f(x1)f(x2).f(x)在区间1，)上为增函数，,则x22xa0对x1，)上恒成立.即a(x22x)在x1，)上恒成立. 令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)， g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3. 又a1，当30在x1，)上恒成立. 故实数a的取值范围是(3，1. 法二 f(x)0对任意x1，)恒成立等价于 yx22xa0对x1，)恒成立. 即求x1，)时，ymin0，又ymin122a0，a3，3a1.,规律方法 恒成立问题是高考的重点与热点，恒成立问题转化为最值问题求解是常规方法. 其方法有二：一种是分离参数，转化为求非参函数的最值；二种是利用函数法，通过
7、讨论参数直接求函数的最值，涉及到导数时，用导数求其最值.,【训练3】 (1)设f(x)x22mx2，当x1，)时，f(x)m恒成立，求实数m的取值范围；(2)已知f(x)7x228xa，g(x)2x34x240x，当x3，3时，f(x)g(x)恒成立，求a的取值范围.解 (1)设F(x)x22mx2m，则当x1，)时，F(x)0恒成立，当4(m1)(m2)0显然成立.,综上，m的取值范围为3，1).,(2)设F(x)f(x)g(x)2x33x212xa， 则F(x)0对x3，3恒成立， 即a2x33x212x，对x3，3恒成立， 设h(x)2x33x212x，h(x)6x26x120， 则x1或x2，h(3)45，h(2)20， h(x)maxh(3)45，a45.,
