1、第2讲 函数的单调性,考试要求 1.函数的单调性(B级要求)；2.运用函数图象研究函数的单调性(B级要求).,知 识 梳 理,1.函数单调性的定义,(x1)f(x2),(x1)f(x2),上升的,下降的,2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是_或_，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，_叫做函数yf(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)对于函数f(x)，xD，若对任意x1，x2D，且x1x2有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则函数f(x)在区间D上是增函数.( ),(3)对于函数yf(x)，若f(1
2、)f(3)，则f(x)为增函数.( ) (4)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，).( ),解析 (2)此单调区间不能用并集符号连接，取x11，x21，则f(1)f(1)，故应说成单调递减区间为(，0)和(0，). (3)应对任意的x1x2，f(x1)f(x2)成立才可以. (4)若f(x)x，f(x)在1，)上为增函数，但yf(x)的单调递增区间可以是R. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(2019盐城模拟)函数yx22x3(x0)的单调增区间为_.解析 函数的对称轴为x1，又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，).答案 (0，),3.函数f(x)l
3、g x2的单调递减区间是_.解析 f(x)的定义域为(，0)(0，)，ylg u在(0，)上为增函数，ux2在(，0)上递减，在(0，)上递增，故f(x)在(，0)上单调递减.答案 (，0),4.(教材改编)如果二次函数f(x)3x22(a1)xb在区间(，1)上是减函数，则实数a的取值范围为_.,答案 (，2,5.下列函数：,其中在区间(0，)内单调递减的是_(填序号).,答案 ,考点一 求函数的单调区间,只需求tx2x6在(2，3)上的减区间.,(2)yx22|x|3的单调增区间为_.,(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如
4、图.,由图象可知，函数yx22|x|3在(，1，0，1上是增函数.,规律方法 确定函数单调性的方法： (1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法； (2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”； (3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“”连接.,解析 (1)设tx22x3，则t0，即x22x30， 解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，). 因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1， 所以函数t在(，1上单调递减，,(2)下列函数中，在区间(1，1)上为减函数的是_(填序号).,在3，)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为3，).,答案 (1)3，) (2
5、),考点二 证明函数的单调性,解 f(x)在(0，上是减函数，在，)上是增函数. 证明如下： 法一 设x1，x2是任意两个正数，且0x1x2，,规律方法 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值 ；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.证明函数单调性有两种方法：定义法、导数法.,法一 设1x1x21，,解 f(x)在(1，1)上单调递减，证明如下：,10，x1x210，(x1)(x1)0. 又a0，f(x1)f(x2)0，函数f(x)在(1，1)上为减函数.,a0，f(x)
6、0在(1，1)上恒成立， 故函数f(x)在(1，1)上为减函数.,考点三 函数单调性的应用,(2)f(x)在R上是偶函数，且在区间(，0)上单调递增， f(x)在(0，)上是减函数，,又y2x是增函数，,规律方法 (1)利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解. (2)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域.,f(x)在R上为偶函数，,当x0时，f(x)0， f(x)在0，)上为增函数， 由f(x1)f(x2)，得f(|x1|)f(|x2|)，,(2)由于ylog3(x2)的定义域为(2，)，且为增函数，故函数ylog3(x2)在(3，)上是增函数.,因其在(3，)上是增函数，故4k0，得k4.,(3)yf(x)是定义在R上的奇函数，且yf(x)在(0，)上递增. yf(x)在(，0)上也是增函数，,解得0x或1x3.,
