1、第10讲 函数模型及其应用,考试要求 1.指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征(A级要求)；2.函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的广泛应用(B级要求)；3.利用导数解决某些实际问题(B级要求).,知 识 梳 理,1.几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型,(2)指数、对数、幂函数模型性质比较,递增,递增,y轴,x轴,2.利用导数研究函数的单调性、极值与最值在解决生活中的优化问题时应用广泛，但要注意结合实际意义(比如定义域问题)作答.,诊 断 自 测,1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)“指数爆炸”是指数型函数yabxc(a0，b0，b1)增长速度的形象比喻.( )
2、(2)幂函数增长比直线增长更快.( ),(4)运用导数求解实际问题时，一定要注意自变量的实际意义.( ),答案 (1) (2) (3) (4),2.某商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式：yx327x123(x0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件.解析 y3x2273(x3)(x3)，当00；当x3时，y0.故当x3时，该商品的年利润最大.答案 3,3.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是_元.解析 设每台原价是a元，则a(140%)80%a270，解得a2 250.答案 2 250,4.若做一
3、个容积为256的正方形底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为_.,答案 4,当0t25时，y(t10)2900，当t10时，ymax900， 当25t30时，y(t70)2900，当t25时，ymax1 125. 综上，30天中日销量金额最大的一天是第25天. 答案 25,考点一 用函数图象刻画变化过程,【例1】 某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图所示；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图所示(单位：万元).,分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式. 解 设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品
4、的利润为g(x)万元.,规律方法 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.,【训练1】 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示.,考点二 已知函数模型的实际问题,求k的值及f(x)的表达式； 隔热
5、层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.,解 当x0时，C8，k40，,令3x5t，t5，35，,因此f(x)的最小值为70. 隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.,规律方法 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.,【训练2】 某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则最大毛利润为(毛利润销售收入进
6、货支出)_元.解析 设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去).当p(0，30)时，L(p)0，当p(30，)时，L(p)0，故L(p)在p30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)23 000.答案 23 000,考点三 构造函数模型的实际问题 角度1 以空间几何体为载体构造函数模型,【例31】 (2016江苏卷)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部分的形状
7、是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱锥的高PO1的4倍.,(1)若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？,(2)设PO1x m，,SA1B1C1D12(62x2)，,又由题意可得下面正四棱柱的高为4x m.,答：当PO12 m时，仓库容积最大.,角度2 以平面图形为载体构造函数模型,【例32】 (2019苏、锡、常、镇调研)如图()是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图()所示的数学模型.索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为
8、60 m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为214，且P对两塔顶的视角为135.,(1)求两索塔之间桥面AC的长度； (2)研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b).问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值.,解 (1)设AP21t，CP4t，t0，记APB，CPD，,化简得7t2125t3000，,答：两索塔之间的距离AC500米. (2)设桥面AC上一点M，AMx，点M处的承重强度之和为L(x).,令l(x)0，解得x
9、250， 当x(0，250)时，l(x)0，l(x)单调递减； 当x(250，500)时，l(x)0，l(x)单调递增，,角度3 以三角为载体构造函数模型,又PQABAPcos (1cos )km，,规律方法 解函数应用题的一般程序： 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数字模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.,【训练3】 (2019常州监测)已知小明(如图中AB所示)身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O，点光源从M发出，小明在地面上的影子记作AB.,(1)小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB扫过的图形面积；,由题知OA3，所以OB6， 小明在地面上的身影AB扫过的图形是圆环，其面积为623227(平方米). 答：AB扫过的图形面积为27平方米.,(2)设经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B0，,所以f(t)A0B0OA0,
