1、第1课时 归纳推理,归纳推理,【做一做1】 已知n是正整数, ,则当n=1,2,3,4,时, M= , , , ,由此可推测当n1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有 个 ,最后一位是 . 解析:当n=1,2,3,4,时,M=3,23,223,2 223,因此推测当n1时,M是一个整数,这个整数从最高位开始,连续有n-1个2,最后一位是3. 答案:3 23 223 2 223 n-1 2 3,【做一做2】 如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排列下去,那么第36颗珠子的颜色是( )A.白色 B.黑色 C.白色的可能性大 D.黑色的可能性大 解析:由题图知,这串珠子的排列规
2、律是每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)呈周期性排列,而36=57+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子,其颜色与第一颗珠子的颜色相同,故它的颜色一定是白色. 答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)统计学中,从总体中抽取样本,然后用样本估计总体,这种估计属于归纳推理. ( ) (2)归纳推理是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现象. ( ) (3)归纳推理是由部分到整体,由一般到特殊的推理. ( ) (4)归纳推理得出的结果一定不正确. ( ) (5)归纳推理分为完全归纳推理与不完全归纳推理. ( ) 答案:(1) (
3、2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,探究四,等式中的归纳推理问题 【例1】 已知下列等式成立: 13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,试根据以上几个等式,归纳出一个一般性结论,用等式表示. 思路分析:分析给出的各个等式左边的项数、各项的次数以及底数的取值特点,分析等号右边的结果与项数的关系,从而写出一般性的结论. 解:从给出的各个等式可以看出:第1个等式左边有1项,是13,右边为1,等于12;第2个等式左边有2项,是13+23,右边为9,等于(1+2)2;第3个等式左边有3项,是13+23+33,右边为36,等于(1+2+3)2,第
4、4个等式左边有4项,是13+23+33+43,右边为100,等于(1+2+3+4)2,由此可以归纳得出一般性的结论为13+23+33+n3=(1+2+3+n)2(nN*).,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟给出几个等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1观察下列各式: 9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20, 这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为 . 解析:由已知,得32-12=24,
5、42-22=34,52-32=44,62-42=54, 猜想(n+2)2-n2=4(n+1). 答案:(n+2)2-n2=4n+4,探究一,探究二,探究三,探究四,不等式中的归纳推理问题 【例2】观察下列不等式:,思路分析:观察给出的不等式发现,左侧括号内是连续奇数的倒数之和,右侧括号内是连续偶数的倒数之和,而另一个数与项数有关,据此可写出一般性结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟给出几个不等式归纳其一般性结论时,要重点观察分析所给出的不等式中项数、次数以及字母的系数等方面的变化规律,发现它们与自然数n的关系,从而写出一般性结论.,探究一,探究二,探
6、究三,探究四,变式训练2观察下列不等式:log32log342, 则logn(n-1)logn(n+1)2, 所以logn(n-1)0,logn(n+1)0,探究一,探究二,探究三,探究四,图形中的归纳推理问题 【例3】 有两种颜色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中灰色正六边形的个数是 ( )A.26 B.31 C.32 D.36 思路分析:分析给出的3个图案中灰色正六边形的个数,猜测一般结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,解析:法一:灰色正六边形个数如表:,由表可以看出灰色正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中灰色正六边形的
7、个数是6+5(6-1)=31. 法二:由图案的排列规律可知,除第一块白色正六边形需6个灰色正六边形围绕(图案1)外,每增加一块白色正六边形,只需增加5块灰色正六边形(每两块相邻的白色正六边形之间有一块“公共”的灰色正六边形),故第六个图案中灰色正六边形的个数为6+5(6-1)=31. 答案:B,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟解决图形形式的归纳推理问题,关键是认真分析给出的图形的各方面的特点,例如数量规律、排列规律、结构规律等,由此推测出一般结论.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练3观察下图中的图形规律,在右下角的空格内画上合适的图形为( ),探究一,探究二,探究三,探究四,数
8、列中的归纳推理问题 【例4】 已知数列an的前n项和为Sn,且a1=2,nan+1=Sn+n(n+1).试归纳猜想数列an的通项公式. 思路分析:利用a1的值和公式nan+1=Sn+n(n+1),逐步求得a2,a3,a4的值,然后归纳得到数列an的通项公式. 解:由于a1=2,且nan+1=Sn+n(n+1). 令n=1,得a2=S1+12=a1+2=2+2=4; 令n=2,得2a3=S2+23=a1+a2+6=2+4+6=12,于是a3=6; 令n=3,得3a4=S3+34=a1+a2+a3+12=2+4+6+12=24,于是a4=8, 由此可以归纳得到数列an的通项公式为an=2n(nN*
9、).,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟在数列问题中,常常用归纳推理来求数列的通项公式与前n项和公式,其一般步骤是: (1)根据给出的第1项(或其他几项)的值,利用递推关系式求出数列的前几项或前几项和; (2)观察数列的前几项或前几项和的结果,从中寻找与项数n的关系; (3)写出数列的通项公式或前n项和公式.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练4已知在数列an中,a1=1,且Sn,Sn+1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和),则S2,S3,S4分别为 ,由此猜想Sn= .,1.根据给出的数塔猜测123 4569+7等于( ) 19+2=11 129+3=111 1239
10、+4=1 111 1 2349+5=11 111 12 3459+6=111 111 A.1 111 110 B.1 111 111 C.1 111 112 D.1 111 113 解析:由数塔呈现的规律知,结果是各位都是1的7位数. 答案:B,2.如图,在所给的四个选项中,最适合填入问号处,使之呈现一定的规律性的为( ),解析:观察第一组中的三个图,可知每一个黑色方块都从右向左循环移动,每次向左移动一格,由第二组的前两个图,可知选A. 答案:A,解析:由已知不等式可猜测 答案:C 4.观察下列等式:(1+1)=21,(2+1)(2+2)=2213,(3+1)(3+2)(3+3)=23135,照此规律,第n个等式可为 . 答案:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1),
