1、5.1.2 垂线,十字路口的两条道路,观察图形中的相交直线有何特点？,观察图形中的相交直线有何特点？,方格的横线和竖线,观察图形中的相交直线有何特点？,铅垂线和水平线,1.掌握垂线的定义及性质. 2.会过已知点作已知直线的垂线. 3.灵活利用垂线的性质解决问题.,垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足,垂直的记法、读法：,直线AB,CD互相垂直，记作“ABCD”或“CDAB”，读作“AB垂直于CD”或“CD垂直于AB”，如果垂足为O，记作“ABCD，垂足为O”或“CD垂直于AB,垂足为O”,垂直的
2、定义的应用格式,因为AOC=90（已知）， 所以ABCD（垂直的定义）,如果直线AB,CD 相交于点O，AOC=90（或四个角中的一个角等于90），那么 ABCD.,这个推理过程可以写成：,因为ABCD（已知）， 所以AOC90（垂直的定义）,如果ABCD，垂足为O，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:,1.两条直线相交形成四个角，下列条件中能判定两条 直线垂直的是( ) A.有两个角相等 B.有两对角相等 C.有三个角相等 D.有四对邻补角,C,【尝试应用】,2.下面四种判定两条直线垂直的方法，正确的有（ ） （1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这 两条直
3、线互相垂直 （2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直 线互相垂直 （3）两条直线相交，所成的四个角相等，则这两条直线互 相垂直 （4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互 相垂直A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,A,l,P,P,l,(1)点在直线外,(2)点在直线上,垂线的画法,【探究】,在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.,性质1：,1.过点P向线段AB所在直线作垂线，正确的是（ ）,A B C D,C,【尝试应用】,2.过点P作线段或射线所在直线的垂线,A,B,.,.P,(1),O,.P,.A,(2),3.过点P分别向角的两边作垂线,.P,.P,
4、.P,.P,我们知道一条直线是由无数个点组成的,取其中任意一点与直线外的一个已知点就能连接成一条线段,这样的线段有无数条,根据第一条性质可知,这无数条线段中有一条而且只有一条与已知直线垂直.,F,A,B,C,D,G,H,E,【探究】,F,A,B,C,D,G,H,E,图中有几条以H为端点的线段? 你能比较出它们的大小吗? 你能得出什么结论?,性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成:垂线段最短.,点到直线的距离：,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.,【概念学习】,【例1】 如图,直线BC与MN相交于点O,AOBC,OE平分BON,若EON=20
5、,求AOM和NOC的度数.,解:OE平分BON, BON=2EON=220=40, NOC=180-BON=180-40=140, MOC=BON=40. AOBC,AOC=90, AOM=AOC-COM=90-40=50, 即NOC=140,AOM=50.,如图所示,已知OAOD,OCOB,COD=45,求AOB的度数.,解:OAOD,OCOB, AOD=COB=90. 由于COD=45, AOC=BOD=45, AOB=AOC+COD+BOD=135.,【跟踪训练】,【例2】 如图所示,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,C、D分别是位于公路AB两侧的村庄. (1)该汽车行驶到公路A
6、B上的某一位置C时距离村庄C最近,行驶到D位置时,距离村庄D最近,请在公路 AB上作出C、D的位置;,(2)当汽车从A出发向B行驶时,在哪一段路上距离村庄C越来越远,而离村庄D越来越近?(只叙述结论,不必说明理由),解: (2)在线段CD这段路上,距离村庄C越来越远,而离 村庄D越来越近.,1.如图,ABC中,C=90,AC=3,点P是边BC上的动点,则AP的长不可能是( )(A)2.5 (B)3 (C)4 (D)5 解析:选A.由垂线段的性质,点A到直线BC的距离,垂线段AC最短,由于AC=3,所以AP的长不可能是2.5.,【跟踪训练】,2.如图,已知P为AOB的OA边上一点.请分别过点P画
7、OA边的垂线PC交OB于点C,OB边的垂线PD交OB于点D.,相交线,垂线,垂线性质,垂线画法,唯一性,垂线段最短,1.（西安中考）如图，点O在直线AB 上，且OCOD，若COA=36，则 DOB的大小为( ) A.36 B.54 C.64 D.72,【解析】选B.因为OCOD，所以COD=90，又因为AOB=180，所以DOB=AOBCODCOA=1809036=54.,2.如图,ODBC,D是垂足,连接OB,有下列说法: 线段OB是O,B两点的距离 线段OB的长度是O,B两点的距离 线段OD是O点到直线BC的距离 线段OD的长度是O点到直线BC的距离 其中正确的说法有( )个 A.1 B.
8、2 C.3 D.4,O,B,D,C,B,3.（宁波中考）如图，直线AB与直 线CD相交于点O，E是AOD内一点， 已知OEAB，BOD=45，则COE 的度数是（ ） A.125 B.135 C.145 D.155,【解析】选B.因为BOD与AOC是对顶角，所以AOC = BOD =45，又因为OEAB,所以AOE=90，所以COE= 135.,4.如图所示，OCAB，垂足为O，如果1= 2，那么3 4.（填，）,【解析】因为OCAB，所以AOC=BOC=90，即 1+3=2+4=90，又因为1=2，所以3=4.,【答案】=,5.如图所示，AC=4，BC=3，AB=5，则点C到 直线AB的距离是 .,【解析】作CDAB，垂足为点D，则CD的长度就是点C到直线AB的距离，三角形ABC的面积为，即 ， 所以CD=2.4. 【答案】2.4,6.如图,已知ACBC,CDAB,则图中以_的长度 表示A点到直线BC的距离;以_的长度表示B点到 直线AC的距离;以_的长度表示C点到直线AB的距 离.,A,B,D,C,线段AC,线段BC,线段CD,7.如图,画出点C到AB,AD的垂线段,成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。,
