1、- 1 -19.2.3 一次函数与方程、不等式第 1课时【教学目标】知识与技能:认识一次函数与一元一次方程之间的联系 .会用函数观点解释一元一次方程的意义 .过程与方法:经历用函数图象表示一元一次方程解的过程,学习用联系的观点看待数学问题的辩证思想,进一步体会“以形表示数,以数解释形”的数形结合思想 .情感态度与价值观:培养数形结合的数学思想,积极参与交流,积极发表意见,让学生体会数学的应用价值 .【重点难点】重点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解 .难点:会根据一次函数图象求一元一次方程的解 .【教学过程】一、创设情境,导入新课我们来看下面两个问题:1.解方程 2x+20=0.2.当自变
2、量 x为何值时,函数 y=2x+20的值为 0?这两个问题之间有什么联系吗?我们这节课就来研究这个问题,并学习利用这种关系解决相关问题的方法 .二、探究归纳活动 1: 一次函数与一元一次方程的关系1.问题:填空:(1)解方程 2x+6=0,得 x=_. (2)从函数图象上看,直线 y=2x+6与 x轴交点的坐标为 _ ,这也说明函数y=2x+6值为 _,对应的自变量 x为 _,即方程 2x+6=0的解是_. 答案:(1)-3 (2)(-3,0) 0 -3 x=-32.思考:直线 y=2x+6与 x轴的交点坐标和方程 2x+6=0的解有什么关系?提示:直线 y=2x+6与 x轴的交点的横坐标,就
3、是方程 2x+6=0的解 .3.归纳:一次函数与一元一次方程的关系- 2 -(1)由于任何一个以 x为未知数的一元一次方程都可转化为 ax+b=0(a,b为常数, a0)的形式 .所以解一元一次方程相当于在某个一次函数 y=ax+b(a0)的函数值为 0时,求自变量 x的值 .(2)一元一次方程 ax+b=0的解,是直线 y=ax+b与 x轴交点的横坐标值 .活动 2:例题讲解【例 1】 利用函数图象解下列方程:(1)0.5x-3=1. (2)3x-2=x+4.分析:将方程转化为 kx+b=0的形式,画出 y=kx+b 的图象,由直线与 x轴的交点坐标确定原方程的解 .解:(1)原方程可化为
4、0.5x-4=0.画出一次函数 y=0.5x-4的图象,由图象看出直线 y=0.5x-4与 x轴的交点为(8,0),所以方程 0.5x-3=1的解为 x=8.(2)原方程可化为 2x-6=0.画出一次函数 y=2x-6的图象,由图象看出直线 y=2x-6与 x轴的交点为(3,0),所以方程 3x-2=x+4的解为 x=3.总结:一次函数与一元一次方程的关系一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值 .即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数 .【例 2】 甲、乙两地距
5、离 300 km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地 .如图,线段 OA表示货车离甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数关系,折线 BCDE表示轿车离甲地的距离 y(km)与时间 x(h)之间的函数关系,根据图象,解答下列问题:- 3 -(1)线段 CD表示轿车在途中停留了 _ h. (2)求线段 DE对应的函数解析式 .(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车 .分析:(1)根据图象中点 C,点 D的横坐标求出轿车在途中停留的时间 .(2)设线段 DE对应的函数解析式为 y=kx+b(k0),由图象得出 D点坐标(2 .5,80),与 E点坐标(4 .5,300),代入
6、y=kx+b列方程组求解 .(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个图象的交点处说明轿车追上货车 .解:(1) CD平行于 x轴,说明轿车离甲地的距离没发生变化,即轿车停留,时间为 C,D两点横坐标的差,2 .5-2=0.5(小时) .(2)设线段 DE对应的函数解析式为 y=kx+b(k0),由图象可得在线段 DE上, D点坐标(2 .5,80),E点坐标(4.5,300),由题意得 解得2.5+=80,4.5+=300, =110,=-195.所以线段 DE对应的函数解析式为: y=110x-195(2.5 x4 .5).(3)两车在行驶中路程相同时,说明轿车追上货车;在两个
7、图象的交点处说明轿车追上货车 . A点坐标为(5,300),代入解析式 y=ax得 300=5a,解得 a=60,故 y=60x,当 60x=110x-195时,解得 x=3.9,故 3.9-1=2.9(小时),答:轿车从甲地出发后经过 2.9小时追上货车 .总结:用一次函数与方程的关系解决实际问题的步骤(1)分析题目中的数量关系及等量关系 .(2)列出函数关系式 .(3)利用函数与方程的关系求解 .(4)验证所求的解是否符合题意,并作答 .三、交流反思- 4 -这节课我们学习了一次函数与一元一次方程之间的联系 . 能把解方程 kx+b=0(k0)与求自变量 x为何值时,一次函数 y=kx+b
8、的值为 0看成是一个问题 .利用图象法解一元一次方程,并能应用它们的关系解决实际问题 .理解数形结合的内涵 .四、检测反馈1.一次函数 y=kx+b的图象如图所示,则方程 kx+b=0的解为 ( )A.x=2B.y=2C.x=-1D.y=-12.直线 y=2x+b与 x轴的交点坐标是(2,0),则关于 x的方程 2x+b=0的解是( )A.x=2 B.x=4 C.x=8 D.x=103.已知方程 kx+b=0的解是 x=3,则函数 y=kx+b的图象可能是 ( )4.如图,直线 y=kx+b分别交 x轴, y轴于点 A,B,则关于 x的方程 kx+b=0的解为( )A.x=-2 B.x=0 C
9、.x=2 D.x=35.下列各个选项中的网格都是边长为 1的小正方形,利用函数的图象解方程 5x-1=2x+5,其中正确的是 ( )- 5 -6.如图所示,是某航空公司托运行李的费用 y(元)与行李重量 x(千克)的关系图象,由图中可知,乘客可以免费托运行李的最大重量为 ( )A.20千克 B.30千克C.40千克 D.50千克7.直线 y=2x+b与 x轴的交点坐标是(2,0),则关于 x的方程是 2x+b=0的解是 x=_. 8.科学研究发现,空气含氧量 y(克 /立方米)与海拔高度 x(米)之间近似地满足一次函数关系 .经测量,在海拔高度为 0米的地方,空气含氧量约为 299克 /立方米
10、;在海拔高度为 2 000米的地方,空气含氧量约为 235克 /立方米 .(1)求出 y与 x的函数关系式 .(2)已知某山的海拔高度为 1 200米,请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少?五、布置作业教科书第 99页习题 19.2第 8题六、板书设计19.2.3 一次函数与方程、不等式第 1课时一、一次函数与一元一次方程二、用一次函数与方程的关系解决实际问题- 6 -三、例题讲解 四、板演练习七、教学反思这节课学习了一次函数与一元一次方程的关系,关于一次函数与一元一次方程的关系,教师通过引导学生观察分析图象与 x轴交点或一次函数解析式与一元一次方程的关系,引导学生得出一次函数与一元一次方程的关系:一个一次函数,当已知函数值求其自变量的值时,就可看成是解一元一次方程;而一个具体的一元一次方程,实际上是已知一次函数的函数值,求其自变量的值 .即一次函数是一般意义的一元一次方程,而一元一次方程是具体意义的一次函数 .让学生明确有关方程问题可用函数的方法来解决,反之,有关函数问题也可用方程的方法来解决 .
