1、- 1 -利用轴对称进行设计一课一练基础闯关题组 等腰三角形的性质1.如图,在ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,下列结论不正确的是 ( )A.ADBC B.B=CC.AD 平分BAC D.AB=2BD【解析】选 D.因为在ABC 中,AB=AC,D 是 BC 中点,所以B=C,ADBC,BAD=CAD,所以 A,B,C 正确,D 不正确.2.(2017丽水中考)等腰三角形的一个内角为 100,则顶角的度数是 . 世纪金榜导学号45574128【解析】因为 10090,所以 100的角是顶角,不可能为底角.答案:1003.如图,已知 AB=BC,D 是 AC 的中点,A=34,则DB
2、C 的度数是 .【解析】因为 AB=BC,D 是 AC 的中点,所以 BD 是ABC 的平分线,因为A=34,所以ABC=180-34-34=112,所以DBC=56.答案:564.(2017呼和浩特中考)如图,等腰三角形 ABC 中,BD,CE 分别是两腰上的中线. 世纪金榜导学号45574129(1)求证:BD=CE.(2)设 BD 与 CE 相交于点 O,点 M,N 分别为线段 BO 和 CO 的中点.当ABC 的重心到顶点 A 的距离与底边长- 2 -相等时,判断四边形 DEMN 的形状,无需说明理由.【解析】(1)因为 AB,AC 为等腰三角形的两腰,所以 AB=AC,因为 BD,C
3、E 分别是两腰上的中线,所以 AE=AD,在AEC 与ADB 中,A=,=,=,所以AECADB,所以 BD=CE.(2)四边形 DEMN 为正方形.5.如图,AB=AD,ADBC,求证:BD 平分ABC.【解析】因为 AB=AD,所以ABD=ADB,因为 ADBC,所以ADB=CBD,所以ABD=CBD,所以 BD 平分ABC.题组 线段垂直平分线的性质- 3 -1.(2017宜昌中考)如图,在AEF 中,尺规作图如下:分别以点 E,点 F 为圆心,大于 EF 的长为半径作弧,12两弧相交于 G,H 两点,作直线 GH,交 EF 于点 O,连接 AO,则下列结论正确的是 ( )A.AO 平分
4、EAFB.AO 垂直平分 EFC.GH 垂直平分 EFD.GH 平分 AF【解析】选 C.根据尺规作图方法和痕迹可知 GH 是线段 EF 的垂直平分线.2.如图所示,线段 AC 的垂直平分线 DE 交线段 AB 于点 D,A=50,则BDC= 世纪金榜导学号 45574130( )A.50 B.100 C.120 D.130【解析】选 B.因为 DE 是线段 AC 的垂直平分线,所以 DA=DC,所以DCA=A=50,所以ADC=180-DCA-A=80,所以BDC=180-80=100.3.(2017常州中考)如图,已知在ABC 中,DE 是 BC 的垂直平分线,垂足为 E,交 AC 于点
5、D,若 AB=6,AC=9,则ABD 的周长是 .- 4 -【解析】因为 DE 是 BC 的垂直平分线,所以 DB=DC.所以ABD 的周长是 AB+DB+DA=AB+DC+DA=AB+AC=6+9=15.答案:154.如图,在 RtABC 中,C=90,AB 边的垂直平分线 DE 交 BC 于点 E,垂足为 D.试说明:CAB=AED. 世纪金榜导学号 45574131【解析】因为 DE 是线段 AB 的垂直平分线,所以 AE=BE,ADE=90,所以EAB=B.在 RtABC 中,因为C=90,所以CAB+B=90.在 RtADE 中,因为ADE=90,所以AED+EAB=90,所以CAB
6、=AED.如图,在ABC 中,AB=AC,A=36,线段 AB 的垂直平分线 MN 分别交 AB,AC 于点 M,N.试说明:BN 平分ABC.- 5 -【解析】因为线段 AB 的垂直平分线 MN 分别交 AB,AC 于点 M,N,所以 AN=BN,所以ABN=A=36,又因为 AB=AC,A=36,所以ABC=72,所以CBN=72-36=36,所以ABN=CBN,所以 BN 平分ABC.【母题变式】变式一如图,在ABC 中,AB=AC,BDAC 于点 D,若ABC=72,求ABD 的度数.【解析】因为 BDAC 于点 D,所以BDC=90,因为ABC=72,AB=AC,所以A=36,所以A
7、BD=90-A=54.变式二如图,已知ABC=50,ACB=80,点 D,B,C,E 四点共线,DB=AB,CE=CA,求D,E,DAE 的度数.- 6 -【解析】因为 BD=BA,所以D=DAB,因为ABC=D+DAB,所以D=DAB= ABC=25,12同理:因为 AC=CE,所以E=CAE,因为ACB=E+CAE,所以E=CAE= ACB=40,12所以DAE=180-40-25=115.变式一 如图,已知ABC 中,AB=BD=DC,ABC=105,求A,C 的度数.【解析】因为 AB=BD,所以BDA=A,因为 BD=DC,所以C=CBD,设C=CBD=x,则BDA=A=2x,所以ABD=180-4x,所以ABC=ABD+CBD=180-4x+x=105,- 7 -解得:x=25,所以 2x=50,即A=50,C=25.变式二如图,在ABC 中,AB=AC=CD,BD=AD,求B,C 和BAC 的度数.【解析】因为 AB=AC,所以B=C,因为 BD=AD,所以B=DAB,因为 AC=DC,所以DAC=ADC=2B,所以BAC=BAD+DAC=B+2B=3B,又B+C+BAC=180,所以 5B=180,所以B=36,C=36,BAC=108.
