1、- 1 -两条直线的位置关系一课一练基础闯关题组 垂线的概念1. 平面内三条直线交于点 O,1=30,2=60,直线 AB 与直线 CD 的关系是( )A.平行 B.垂直C.重合 D.以上均有可能【解析】选 B.如图,因为3=2=60,又1=30,所以AOD=1+3=90,所以 ABCD.2. 如图,直线 AB,CD 相交于点 O,OEAB 于点 O,COE=55,则BOD 的度数是 ( )A.40 B.45 C.30 D.35【解析】选 D.因为 OEAB,所以AOE=90.因为COE=55,所以AOC=AOE-COE=90-55=35.因为BOD=AOC,所以BOD=35.- 2 -【特别
2、提醒】有垂直就会有直角,常常结合余角来考查,同时邻补角和对顶角的性质也常作为隐含信息用来解决问题.【变式训练】如图,已知 ABCD,垂足为 O,EF 经过点 O.如果1=30,则2 等于 ( )A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选 C.因为 ABCD,垂足为 O,所以AOD=90,因为1=30,所以FOD=30,所以2=90-30=60.3. 如图,AOBO,CODO,AOCBOC=15,则BOD= 世纪金榜导学号 45574054( ).A.105 B.112.5 C.135 D.157.5【解析】选 D.因为 AOBO,CODO,所以AOB=COD=90.因为AOB+COD+A
3、OC+BOD=360,所以AOC+BOD=180.因为AOCBOC=15,所以设AOC 的度数为 x,则BOC 的度数为 5x,所以AOB=BOC-AOC=5x-x=4x=90.解得 x=22.5,所以BOD=180-22.5=157.5.- 3 -4. 如图,点 O 在直线 AE 上,OB 平分AOC,BOOD,AOB=30,则DOC 的度数是( )A.30 B.50 C.60 D.70【解析】选 C.因为 OB 平分AOC,所以BOC=AOB=30,因为 BOOD,得DOB=90,所以DOC=DOB-BOC=90-30=60.5.如图,直线 AB 与 CD 相交于 E 点,EFAB,垂足为
4、 E,1=130,则2=度.【解析】因为1=130,所以DEB=180-130=50,因为 EFAB,所以FEB=90,所以2=90-DEB=90-50=40.答案:405. 如图,已知直线 AB,CD 交于点 O,OEAB 于点 O,1=65,求3 的度数. 世纪金榜导学号 45574055【解析】因为 ABOE,所以AOE=90,- 4 -所以1+2=90,因为1=65,所以2=25,因为3=2,所以3=25.如图,直线 AB 上有一点 O,射线 OC 把平角AOB 分成两个角,OD,OE 分别是BOC 和AOC 的平分线,试判断 OE 和 OD 的位置关系,并说明理由.【解析】OE 和
5、OD 的位置关系是垂直.理由:因为射线 OC 把平角AOB 分成两个角,所以AOC+BOC=180.又因为 OD,OE 分别是BOC 和AOC 的平分线,所以EOC= AOC,DOC= BOC,12 12所以EOD=EOC+DOC= (AOC+BOC)=90.12故 OE 和 OD 的位置关系是垂直.题组 垂线的性质及其应用1.如图所示,P 是直线 l 外一点,点 A,B,C 在 l 上,且 PB l,下列说法:PA,PB,PC 这 3 条线段中,PB 最短.点 P 到直线 l 的距离是线段 PB 的长.线段 AB 的长是点 A 到 PB 的距离.线段 PA 的长是点 P 到直线 l 的距离.
6、其中正确的是 ( )A. B. C. D.【解析】选 A.线段 PB 是点 P 到直线 l 的垂线段,根据垂线段最短可知,PA,PB,PC 三条线段中,PB 最短,故正确.线段 PB 是点 P 到直线 l 的垂线段,故线段 PB 的长叫做点 P 到直线 l 的距离,故正确.线段 AB 是点 A 到 PB 的垂线段,故线段 AB 的长叫做点 A 到 PB 的距离,故正确.因为 PA 不垂直直线 l,所以线段 PA 的长不是点 P 到直线 l 的距离,故错误.综上所述,正确的说法有.2.如图,能表示点到直线的距离的线段共有 ( )- 5 -A.2 条 B.3 条 C.4 条 D.5 条【解析】选
7、D.根据点到直线的距离定义,可判断:AB 表示点 A 到直线 BC 的距离;AD 表示点 A 到直线 BD 的距离;BD 表示点 B 到直线 AC 的距离;CB 表示点 C到直线 AB 的距离;CD 表示点 C 到直线 BD 的距离.共 5 条.3.如图,在ABC 中,C=90,AC=3cm,点 P 是边 BC 上的动点,则 AP 长不可能是 ( )世纪金榜导学号 45574056A.2.5cm B.3cm C.4cm D.5cm【解析】选 A.已知,在ABC 中,C=90,AC=3cm,根据垂线段最短,可知 AP 的长不可小于 3cm,当 P 和 C 重合时,AP=3cm.4.如图是苗苗同学
8、在体育课上跳远后留下的脚印,她的跳远成绩是线段的长度,这样测量的依据是 . 世纪金榜导学号 45574057【解析】根据图形及跳远成绩的测量规定可知线段 BN 的长度为跳远成绩,测量的依据是垂线段最短.答案:BN 垂线段最短5.如图,已知:点 A、点 B 及直线 l.(1)请画出从点 A 到直线 l 的最短路线,并写出画图的依据.(2)请在直线 l 上确定一点 O,使点 O 到点 A 与点 O 到点 B 的距离之和最短,并写出画图的依据.- 6 -【解析】 (1)如图所示,作 AE l,垂足为 E,AE 即为最短路线.依据:垂线段最短.(2)如图所示,连接 AB,AB 与 l 的交点即为点 O
9、.依据:两点之间线段最短.如图所示,将两个相同三角板的两个直角顶点 O 重合在一起,像图那样放置.(1)若BOC=60,如图,猜想AOD 的度数.(2)若BOC=70,如图,猜想AOD 的度数.(3)猜想AOD 和BOC 的关系,并以图为例写出理由.【解析】(1)因为AOB=90,BOC=60,所以AOC=AOB-BOC=90-60=30.又因为COD=90,所以AOD=AOC+COD=30+90=120.(2)因为AOB+COD+BOC+AOD=360,AOB=90,COD=90,BOC=70,所以AOD=360-AOB-COD-BOC=360-90-90-70=110.(3)猜想:AOD+BOC=180.理由:如题图,因为AOD=AOC+COD=AOC+90,BOC=COD-BOD=90-BOD,AOC=BOD,所以AOD+BOC=180.- 7 -
