1、1考点强化练 22 圆的有关概念及性质夯实基础1.(2018上海)如图,已知在 O 中, AB 是弦,半径 OC AB,垂足为点 D.要使四边形 OACB 为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是( )A.AD=BDB.OD=CDC. CAD= CBDD. OCA= OCB答案 B解析 由半径 OC AB,由垂径定理可知 AD=BD,即四边形 OACB 中两条对角线互相垂直,且一条对角线被另一条平分 .根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”,可知若添加条件 OD=CD,即可说明四边形 OACB 为菱形,故选择 B.2.(2018山东菏泽)如图,在 O 中, OC AB, ADC=32,则 O
2、BA 的度数是( )A.64 B.58C.32 D.26答案 D解析 OC AB, .AC=BC ADC 是 所对的圆周角, BOC 是 所对的圆心角,AC BC BOC=2 ADC=64, OBA=90- BOC=90-64=26.故选 D.3.2(2017湖北黄石)如图,已知 O 为四边形 ABCD 的外接圆, O 为圆心,若 BCD=120,AB=AD=2,则O 的半径长为( )A. B.322 62C. D.32 233答案 D解析 作直径 BM,连接 DM,BD.则 BDM=90.因为 C=120,所以 A=60.又 AB=AD=2,所以 BD=2, M=60.在 Rt BDM 中,
3、sin M= ,得到 .BDBM=2BM BM2=2334.(2018山东烟台)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点 O,A,B,C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 .答案 (-1,-2)解析 如图,连接 AB,BC,分别作 AB 和 BC 的中垂线,交于 G 点 .由图知,点 G 的坐标为( -1,-2).5.3(2017江苏淮安)如图,在圆内接四边形 ABCD 中,若 A, B, C 的度数之比为 4 3 5,则 D 的度数是 . 答案 120解析 因为四边形 ABCD 是 O 的内接四边形,所
4、以 A+ C= B+ D=180.因为 A, B, C 的度数之比为 4 3 5,所以 A, B, C, D 的度数之比为 4 3 5 6.所以 D= 180=120.63+66.(2017湖北襄阳)在半径为 1 的 O 中,弦 AB,AC 的长分别为 1 和 ,则 BAC 的度数为 .2答案 105或 15解析 如图 1,当点 O 在 BAC 的内部时,连接 OA,过点 O 作 OM AB,ON AC,垂足分别为 M,N,则AM= ,AN= .12 22在 Rt AOM 中,cos MAO= ,AMAO=12 MAO=60.在 Rt AON 中,cos NAO= ,ANAO= 22 NAO=
5、45, BAC=60+45=105.如图 2,当点 O 在 BAC的外部时, BAC=60-45=15.7.如图,在 O 的内接四边形 ABCD 中, BCD=120,CA 平分 BCD.4(1)求证: ABD 是等边三角形;(2)若 BD=3,求 O 的半径 .解 (1) BCD=120,CA 平分 BCD, ACD= ACB=60.由圆周角定理得, ADB= ACB=60, ABD= ACD=60, ABD 是等边三角形 .(2)连接 OB,OD,作 OH BD 于 H,则 DH= BD= ,12 32 BOD=2 BAD=120, DOH=60.在 Rt ODH 中, OD= ,DHsi
6、n DOH= 3 O 的半径为 .38.(改编题)如图, MN 是 O 的直径, MN=4,点 A 在 O 上, AMN=30,B 为 的中点, P 是直径 MN 上一动AN点 .(1)利用尺规作图,确定当 PA+PB 最小时 P 点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹) .(2)求 PA+PB 的最小值 .解(1)如图,点 P 即为所求 .(2)如图,连接 OA,OA,OB.由(1)可得, PA+PB 的最小值即为线段 AB 的长, 点 A和点 A 关于 MN 轴对称且 AMN=30,5 AON= AON=2 AMN=60 .又 点 B 为 的中点,AN BON= AON=30,12 AOB=
7、90.又 MN= 4,OB=OA= 2.在 Rt AOB 中,由勾股定理得 AB= =2 .22+22 2PA+PB 的最小值是 2 .2提升能力9.(2018四川雅安)如图, AB,CE 是圆 O 的直径,且 AB=4, ,点 M 是 AB 上一动点,下列结论:BD=DC=CA CED= BOD;DM CE;CM+DM 的最小值为 4; 设 OM 为 x,则 S OMC= x,上述结论中,正确的12 3个数是( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 导学号 16734131答案 B解析 因为 ,所以 COD= BOD,所以 CED= BOD,正确; M 是直径 AB 上一动点,而
8、 CE 是固定的,BD=DC 12因此 DM CE 不一定成立,错误; 因为 DE AB,所以 D 和 E 关于 AB 对称,因此 CM+DM 的最小值在 M和 O 重合时取到,即为 CE 的长 .因为 AB=4,所以 CE=AB=4, 正确; 连接 AC,因为 ,所以BD=DC=CA COA=60,则 AOC 为等边三角形,边长为 2,过 C 作 CN AO 于 N,则 CN= ,在 COM 中, OM 为底,3CN 为 OM 边上的高,所以 S COM= x,故 错误 .故选 B.3210.6(2018江苏无锡)如图,四边形 ABCD 内接于 O,AB=17,CD=10, A=90,cos
9、 B= ,求 AD 的长 .35解 如图所示,延长 AD,BC 交于点 E, 四边形 ABCD 内接于 O, A=90, EDC= B, ECD= A=90, ECD EAB, .CDAB=ECEA cos EDC=cosB= , .35 CDED=35CD= 10, ,ED= .10ED=35 503EC= .ED2-CD2= (503) 2-102=403 ,AD= 6.1017= 403503+AD11.(2017湖北武汉)如图, ABC 内接于 O,AB=AC,CO 的延长线交 AB 于点 D.备用图(1)求证: AO 平分 BAC;(2)若 BC=6,sin BAC= ,求 AC 和
10、 CD 的长 .35(1)证明 连接 OB,AO=AO ,BO=CO,AB=AC, AOB AOC,7 BAO= CAO,即 AO 平分 BAC.(2)解 如图,过点 D 作 DK AO 于 K,延长 AO 交 BC 于 H. 由(1)知 AO BC,OB=OC,BC=6.BH=CH= BC=3, COH= BOC,12 12 BAC= BOC,12 COH= BAC.在 Rt COH 中, OHC=90,sin COH= ,HCOC=35CH= 3,CO=AO= 5.OH= 4.AH=AO+OH= 4+5=9,tan COH=tan DOK= .34在 Rt ACH 中, AHC=90,AH
11、=9,CH=3, tan CAH= ,AC=3 , CHAH=13 10由(1)知 COH= BOH,tan BAH=tan CAH= ,13设 DK=3a,在 Rt ADK 中,tan BAH= ,AK=9a.13在 Rt DOK 中,tan DOK= ,34OK= 4a,DO=5a.AO=OK+AK= 13a=5.a= ,DO=5a= ,CD=OC+OD=5+ , 513 2513 2513=9013AC= 3 ,CD= .109013创新拓展12.8(2018贵州遵义)如图, AB 是半圆 O 的直径, C 是 AB 延长线上的点, AC 的垂直平分线交半圆于点 D,交 AC 于点 E,
12、连接 DA,DC,已知半圆 O 的半径为 3,BC=2.(1)求 AD 的长;(2)点 P 是线段 AC 上一动点,连接 DP,做 DPF= DAC,PF 交线段 CD 于点 F,当 DPF 为等腰三角形时,求 AP 的长 .解 (1)如图 1,连接 OD,因为半径为 3,所以 OA=OB=OD=3.因为 BC=2,所以 AC=8.因为 DE 垂直平分 AC,所以 DA=DC,AE=4, DEO=90,OE=1,在 Rt DOE 中, DE= =2 ,在 Rt ADE 中, AD=DO2-OE2 2=2 .AE2+DE2 6图 1(2)因为 PDF 为等腰三角形,因此分类讨论: 当 DP=DF
13、 时,如图 2,点 A 与点 P 重合,则 AP=0.图 2 当 PD=PF 时,如图 3,因为 DPF= DAC= C, PDF= CDP,所以 PDF CDP,因为 PD=PF,所以 CP=CD,所以 CP=2 ,AP=AC-PC=8-2 .6 6图 3 当 FP=FD 时,如图 4,因为 FDP 和 DAC 都是等腰三角形, DPF= DAC,所以 FDP= DPF= DAC= C,所以,设 DP=PC=x,则 EP=4-x,在 Rt DEP 中, DE2+EP2=DP2,得(2 )2+(4-x)2=x2,得 x=3,则 AP=5.2图 4综上所述,当 DPF 为等腰三角形时, AP 的长可能为 0,8-2 ,5. 导学号 1673413269
