1、1考点强化练 21 矩形、菱形、正方形夯实基础1.(2017山东临沂)在 ABC中,点 D是边 BC上的点(与 B,C两点不重合),过点 D作 DE AC,DF AB,分别交 AB,AC于 E,F两点,下列说法正确的是( )A.若 AD BC,则四边形 AEDF是矩形B.若 AD垂直平分 BC,则四边形 AEDF是矩形C.若 BD=CD,则四边形 AEDF是菱形D.若 AD平分 BAC,则四边形 AEDF是菱形答案 D解析 若 AD BC,无法判定四边形 AEDF是矩形,所以 A错误;若 AD垂直平分 BC,可以判定四边形 AEDF是菱形,所以 B错误;若 BD=CD,无法判定四边形 AEDF
2、是菱形,所以 C错误;若 AD平分 BAC,则 EAD= FAD= ADF,所以 AF=DF,又因为四边形 AEDF是平行四边形,所以四边形 AEDF是菱形,故 D正确 .2.(2018合肥四十五中模拟)在 ABCD中, AB=10,BC=14,E、 F分别为边 BC、 AD上的点 .若四边形AECF为正方形,则 AE的长为( )A.7 B.4或 10C.5或 9 D.6或 8答案 D解析据题意画图,设 AE的长为 x,根据正方形的性质可得 BE=14-x,在 ABE中,根据勾股定理可得x2+(14-x)2=102,解得 x1=6,x2=8.故 AE的长为 6或 8.故选 D.3.2(2017
3、浙江衢州)如图,矩形纸片 ABCD中, AB=4,BC=6,将 ABC沿 AC折叠,使点 B落在点 E处, CE交 AD于点 F,则 DF的长等于( )A. B. C. D.35 53 73 54答案 B解析 设 DF=x,则 CF=AF=6-x,由勾股定理有 x2+42=(6-x)2,解得 x= .534.(2018陕西)如图,在菱形 ABCD中,点 E、 F、 G、 H分别是边 AB、 BC、 CD和 DA的中点,连接EF、 FG、 GH和 HE.若 EH=2EF,则下列结论正确的是( )A.AB= EF B.AB=2EF2C.AB= EF D.AB= EF3 5答案 D解析连接 AC,B
4、D,交于点 O.E ,F分别为 AB,BC的中点, EF= AC. 四边形 ABCD为菱形,12AO= AC,AC BD.EF=AO. 同理: EH=BO.EH= 2EF.BO= 2AO.在 Rt ABO中,设 AO=x,则12BO=2x.AB= x= AO.AB= EF,故选 D.x2+(2x)2= 5 5 55.(2018合肥庐阳区一模)如图,已知菱形 ABCD的周长为 16,面积为 8 ,E为 AB的中点,若 P为对3角线 BD上一动点,则 EP+AP的最小值为( )A.2 B.2 C.4 D.4 导学号 167341283 3答案 B解析3如图作 CE AB于 E,交 BD于 P,连接
5、 AC、 AP. 菱形 ABCD的周长为 16,面积为8 ,AB=BC= 4,ABCE=8 ,CE= 2 .在 Rt BCE中,3 3 3BE= =2,BE=EA= 2,E 与 E重合, 四边形 ABCD是菱形, BD 垂直平分 AC,A 、 C42-(2 3)2关于 BD对称, 当 P与 P重合时, PA+PE的值最小,最小值为 CE的长,即为 2 ,故选 B.36.(2018合肥瑶海区模拟)如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD是菱形, ABC=60,且点 A的坐标为(4,0),若 E是 AD的中点,则点 E的坐标为 . 答案 (2,-2 )3解析 过 E作 EF AC,交 BD于 F
6、,EG BD,交 AC于 G,E 是 AD的中点,G 是 AO的中点, F是 OD的中点 . 点 A的坐标为(4,0), 点 G(2,0).由菱形的性质,知 AC BD, ADB= CDB. ABC=60, ADB=30.OD= OA=4 .3 3OF= OD=2 .12 3E (2,-2 ).37.4(2018贵州铜仁)如图,Rt ABC中, C=90,AC=3,BC=4,D是 AB上一点, DE AC于点 E,DF BC于点 F,边接 EF,则 EF的最小值为 . 答案 2.4解析如图,连接 CD. C=90,AC=3,BC=4,AB= =5,32+42DE AC,DF BC, C=90,
7、 四边形 CFDE是矩形, EF=CD.由垂线段最短可得 CD AB时,线段 EF的值最小,此时, S ABC= BCAC= ABCD,12 12即 43= 5CD,解得 CD=2.4,12 12EF= 2.4.8.(2017山东青岛)已知:如图,在菱形 ABCD中,点 E,O,F分别是边 AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OF,OE.(1)求证: BCE DCF;(2)当 AB与 BC满足什么条件时,四边形 AEOF是正方形?请说明理由 .(1)证明 四边形 ABCD为菱形,AB=BC=CD=DA , B= D.又 E,F分别是 AB,AD中点,BE=DF. BCE DCF(SAS).
8、(2)解 若 AB BC,则 AEOF为正方形,理由如下:E ,O分别是 AB,AC中点, EO BC,5又 BC AD,OE AD,即 OE AF.同理可证 OF AE, 四边形 AEOF为平行四边形,由(1)可得 AE=AF, 平行四边形 AEOF为菱形 .BC AB, BAD=90, 菱形 AEOF为正方形 .提升能力9.(2018山东滨州)如图,在矩形 ABCD中, AB=2,BC=4,点 E,F分别在 BC,CD上,若 AE= , EAF=45,则5AF的长为 . 答案4103解析 取 AD、 BC中点 M、 N,由 AD=4,AB=2,易得 ABNM是正方形,连接 MN,EH,由
9、HAE=45,四边形 ABNM是正方形,可知此处有典型的正方形内“半角模型”,故有 EH=MH+BE.由 AB=2,AE= ,易知 BE=1,所以 EN=BN-BE=2-1=1.5设 MH=x,由 M是 AD中点, AMH ADF可知, DF=2MH=2x,HN=2-x,EH=MH+BE=x+1,在 Rt EHN中有EN2+HN2=EH2,故 12+(2-x)2=(x+1)2,解得 x= ,故 DF= ,故 AF= .23 43 AD2+DF2=410310.(2018江苏扬州)如图,在平行四边形 ABCD中, DB=DA,点 F是 AB的中点,连接 DF并延长,交 CB的延长线于点 E,连接
10、 AE.(1)求证:四边形 AEBD是菱形;(2)若 DC= ,tan DCB=3,求菱形 AEBD的面积 .10(1)证明 四边形 ABCD是平行四边形,AD CE, DAF= EBF. AFD= BFE,AF=FB, AFD BFE,AD=EB.AD EB, 四边形 AEBD是平行四边形 .6BD=AD , 四边形 AEBD是菱形 .(2)解 四边形 ABCD是平行四边形,CD=AB= ,AB CD,10 ABE= DCB. tan ABE=tan DCB=3. 四边形 AEBD是菱形,AB DE,AF=FB,EF=DF, tan ABE= =3.EFBFBF= ,EF= ,DE= 3 .
11、102 3102 10S 菱形 AEBD= ABDE= 312 12 10 10=15.导学号 1673412911.(2011安徽)如图,正方形 ABCD的四个顶点分别在四条平行线 l1、 l2、 l3、 l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 h1、 h2、 h3(h10,h20,h30).(1)求证: h1=h3;(2)设正方形 ABCD的面积为 S,求证: S=(h2+h1)2+ ;h12(3)若 h1+h2=1,当 h1变化时,说明正方形 ABCD的面积为 S随 h1的变化情况 .32(1)证明 过 A点作 AF l3分别交 l2、 l3于点 E、 F,过 C点作 CH l2分
12、别交 l2、 l3于点 H、 G, 四边形 ABCD是正方形, l1 l2 l3 l4,AB=CD , ABE+ HBC=90,CH l2, BCH+ HBC=90, BCH= ABE, BCH= CDG, ABE= CDG, AEB= CGD=90,7在 ABE和 CDG中, ABE= CDG, AEB= CGD,AB=CD, ABE CDG(AAS),AE=CG ,即 h1=h3.(2)证明 四边形 ABCD是正方形,AB=BC=CD=DA , AEB= DFA= BHC= CGD=90, ABE= FAD= BCH= CDG, AEB DAF BHC CGD,且两直角边长分别为 h1、
13、h1+h2, 四边形 EFGH是边长为 h2的正方形,S= 4 h1(h1+h2)+ =2 +2h1h2+ =(h1+h2)2+ .12 h22 h21 h22 h21(3)解 由题意,得 h2=1- h1,32所以 S= h1+1- h1 2+ -h1+1= h1- 2+ ,32 h21=54h21 54 25 45又 解得 00,1-32h10, 23 当 0h1 时, S随 h1的增大而减小;25当 h1= 时, S取得最小值 ;25 45当 h1 时, S随 h1的增大而增大 . 导学号 1673413025 23创新拓展12.已知正方形 ABCD的对角线 AC,BD相交于点 O.(1
14、)如图 1,E,G分别是 OB,OC上的点, CE与 DG的延长线相交于点 F.若 DF EC,求证: OE=OG;(2)如图 2,H是 BC上的点,过点 H作 EH BC,交线段 OB于点 E,连接 DH交 CE于点 F,交 OC于点 G.若 OE=OG, 求证: ODG= OCE; 当 AB=1时,求 HC的长 .(1)证明 四边形 ABCD是正方形,8AC BD,OD=OC. DOG= COE=90, OEC+ OCE=90.DF CE, OEC+ ODG=90. OCE= ODG, DOG COE(ASA).OE=OG.(2) 证明 OD=OC , DOG= COE=90,又 OE=OG , DOG COE(SAS). OCE= ODG. 解 设 CH=x, 四边形 ABCD是正方形, AB=1,BH= 1-x. DBC= BDC= ACB=45,EH=BH= 1-x. OCE= ODG, BDC- ODG= ACB- OCE, HDC= ECH.EH BC, EHC= HCD=90. CHE DCH, .EHHC=HCCDHC 2=EHCD,得 x2+x-1=0,解得 x1= ,x2= (舍去),5-12 - 5-12HC= .5-12
