1、1安平中学 2018-2019 学年上学期期末考试高二实验部数学试题（理）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟第卷（选择题）1、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合 A=x|2x25x30，B=xZ|x2，则 AB 中的元素个数为（ ）A2 B3 C4 D52设复数 z=1+i，i 是虚数单位，则 +（ ） 2=（ ）A13i B1i C1i D1+i3命题“ x0 （0， ） ，cosx 0sinx 0”的否定是（ ）Ax 0 （0， ） ，cosx 0sin
2、x 0 Bx（0， ） ， cosxsinxCx（0， ） ，cosxsinx Dx 0（0， ） ，cosx 0sinx 04设各项均为正数的等差数列 an的前 n 项和为 Sn,且 a4a8=32,则 S11的最小值为A. B. C.22 D.442245已知向量 ， 满足 （ ）=2，且| |=1，| |=2，则 与 的夹角为（ ）A B C D6如图为教育部门对辖区内某学校的 50 名儿童的体重（kg）作为样本进行分析而得到的频率分布直方图，则这 50 名儿童的体重的平均数为（ ）A27.5 B26.5 C25.6 D25.7 7已知 sin（ ）= ，则 cos（2 ）=（ ）A B
3、 C D8某高校的 8 名属“老乡”关系的同学准备拼车回家，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名同学不考虑位置） ，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名同学恰有 2 名来自于同一年级的乘坐方式共有（ ）2A18 种 B24 种 C36 种 D48 种9如图，B、D 是以 AC 为直径的圆上的两点，其中 ， ，则 =（ ）A1 B2 Ct D2t10已知实数 x，y 满足条件|x1|+|y1|2，则 2x+y 的最大值为（ ）A3 B5 C7 D911.设函数 在 上可导, 则 与 的大小关系是( )fR23,f
4、xfx1ffA. B. C. D.不确定(1)()1()12抛物线 y2=2px（p0）的焦点为 F，已知点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足AFB=120过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 的最大值为（ ）A B1 C D2第卷（非选择题）二填空题（共 4 题每题 5 分满分 20 分）13若（a+x） （1+x） 4的展开式中，x 的奇数次幂的系数和为 32，则展开式中 x3的系数为 14已知正四面体 ABCD 的棱长为 l，E 是 AB 的中点，过 E 作其外接球的截面，则此截面面积的最小值为 15.若函数 在其定义域内的一个子区间 内不是单调函数,则实
5、2()lnfxx(1)k数 的取值范围是 k16设函数 y= 的图象上存在两点 P，Q，使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形（其中 O 为坐标原点） ，且斜边的中点恰好在 y 轴上，则实数 a 的取值范围是 3解答题：（解答题应写出必要的文字说明和演算步骤，17 题 10 分，18-22 每题 12 分)17已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边，a=2 且（2+b） （sinAsinB）=（cb）sinC（1）求角 A 的大小；（2）求ABC 的面积的最大值318设函数 ，数列a n满足 ，nN *，且n2（1）求数列a n的通项公式；（2）对 nN *，设
6、，若 恒成立，求实数t 的取值范围19如图，在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，ADCD，BC=2，AD=CD=1，M是 PB 的中点（）求证：AM平面 PCD；（）求证：平面 ACM平面 PAB；（）若 PC 与平面 ACM 所成角为 30，求 PA 的长20已知函数 f（x）=exxlnx，g（x）=e xtx 2+x，tR，其中 e 是自然对数的底数（）求函数 f（x）在点（1，f（1） ）处切线方程；（）若 g（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立，求 t 的取值范围21过离心率为 的椭圆 的右焦点 F（1，0）作直线 l 与椭圆C 交于不同的两点 A、B，设|F
7、A|=|FB|，T（2，0） （）求椭圆 C 的方程；（）若 12，求ABT 中 AB 边上中线长的取值范围422已知函数 f（x）=e x3x+3a（e 为自然对数的底数，aR） （）求 f（x）的单调区间与极值；（）求证：当 ，且 x0 时， 5理答案1-12 BABBD CABAC BA13.1814.15.16. （0， 17.【解答】解：（1）ABC 中，a=2，且（2+b） （sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦定理可得（2+b） （ab）=（cb）c，即 b 2+c2bc=4，即 b2+c24=bc，cosA= = = ，A= （2）再由 b2+c2bc=4，利用基本不
8、等式可得 42bcbc=bc，bc4，当且仅当 b=c=2 时，取等号，此时，ABC 为等边三角形，它的面积为 bcsinA= 22 = ，故ABC 的面积的最大值为： 18.【解答】解：（1）依题意，a na n1 = （n2） ，又a 1=1，数列a n是首项为 1、公差为 的等差数列，故其通项公式 an=1+ （n1）= ；（2）由（1）可知 an+1= ， = （ ） ，= （ + + ）= ，恒成立等价于 ，即 t 恒成立6令 g（x）= （x0） ，则 g（x）= 0，g（x）= （x0）为增函数，当 n=1 时 取最小值 ，故实数 t 的取值范围是（， 19.【解答】证明：（I）
9、取 PC 的中点 N，连接 MN，DNM，N 是 PB，PC 的中点，MN BC，又 AD BC，MN AD，四边形 ADNM 是平行四边形，AMDN，又 AM平面 PCD，CD 平面 PCD，AM平面 PCD（II）PA平面 ABCD，AC平面 ABCD，PAACAD=CD=1，ADCD，ADBC，AC= ，DCA=BCA=45，又 BC=2，AB= = AC 2+AB2=BC2，ACAB又 PA平面 PAB，AB平面 PAB，PAAB=A，AC平面 PAB，又 AC平面 ACM，平面 ACM平面 PAB（III）取 BC 的中点 E，连接 AE，则 AEAD以 A 为原点，以 AD，AE，
10、AP 为坐标轴建立空间直角坐标系 Axyz，则 A（0，0，0） ，C（1，1，0） ，设 P（0，0，a） ，则 M（ ， ， ） （a0） =（1，1，0） ， =（ ， ， ） ， =（1，1，a） 设平面 ACM 的法向量为 =（x，y，z） ，则 令 x=1 得 =（1，1， ） 7cos = = PC 与平面 ACM 所成角为 30， = 解得 a= |PA|= 20.【解答】解：（）由 f（x）=exxlnx，得 f（x）=elnx1，则 f（1）=e1而 f（1）=e，所求切线方程为 ye=（e1） （x1） ，即 y=（e1）x+1；（）f（x）=exxlnx，g（x）=e
11、xtx 2+x，tR，g（x）f（x）对任意 x（0，+）恒成立extx 2+xex+xlnx0 对任意 x（0，+）恒成立即 t 对任意 x（0，+）恒成立令 F（x）= 则 F（x）= ，设 G（x）= ，则 G（x）= 对任意 x（0，+）恒成立G（x）= 在（0，+）单调递增，且 G（1）=0x（0，1）时，G（x）0，x（1，+）时，G（x）0，8即 x（0，1）时，F（x）0，x（1，+）时，F（x）0，F（x）在（0，1）上单调递减，F（x）在（1，+）上单调递增F（x）F（1）=1t1，即 t 的取值范围是（，121.【解答】解：（） ，c=1，a 2=b2+c2， =b，椭圆
12、 C 的方程为： （）当直线 l 的斜率为 0 时，显然不成立因此可设直线 l 的方程为：my=x1，设A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，直线 l 的方程与椭圆方程联立可得：（m 2+2）y 2+2my1=0， ， ，由|FA|=|FB|，可得 y1=y 2， ， ， 2= ，12， ，0 ，又 AB 边上的中线长为 = = =，0 ， =t f（t）=2t 27t+4=2 9ABT 中 AB 边上中线长的取值范围是22.【解答】 （ I）解 由 f（x）=e x3x+3a，xR 知 f（x）=e x3，xR令 f（x）=0，得 x=ln 3，于是当 x 变化时，f（x） ，f（
13、x）的变化情况如下表x （，ln 3） ln 3 （ln 3，+）f（x） 0 +f（x） 3（1ln 3+a） 故 f（x）的单调递减区间是（，ln 3，单调递增区间是ln3，+） ，f（x）在 x=ln 3 处取得极小值，极小值为 f（ln 3）=e ln33ln 3+3a=3（1ln 3+a） （II）证明：待证不等式等价于 设 ，xR，于是 g（x）=e x3x+3a，xR由（ I）及 知：g（x）的最小值为 g（ln 3）=3（1ln 3+a）0于是对任意 xR，都有 g（x）0，所以 g（x）在 R 内单调递增于是当 时，对任意 x（0，+） ，都有 g（x）g（0） 而 g（0）=0，从而对任意 x（0，+） ，g（x）0即 ，故10
