1、- 1 -直角三角形一课一练基础闯关题组 直角三角形全等的判定1.(2017澧县期中)下列不能使两个直角三角形全等的条件是 ( )A.一条直角边及其对角对应相等B.斜边和一条直角边对应相等C.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等【解析】选 D.选项 A 符合 AAS,正确;选项 B 符合 HL,正确;选项 C 符合 AAS,正确;选项 D 因为判定三角形全等必须有边的参与,错误.故选 D.2.(2017福清市期末)如图,已知 ACBD,垂足为 O,AO=CO,AB=CD,则可得到AOBCOD,理由是 ( )世纪金榜导学号 10164020A.HL B.SAS C.ASA D.AAS【解析】
2、选 A.在 RtAOB 和 RtCOD 中,AO=CO,AB=CD,RtAOBRtCOD(HL).3.(2017文安县期中)如图,CEAB,DFAB,垂足分别为 E,F,ACDB,且 AC=BD,那么 RtAECRtBFD的理由是 ( )A.SSS B.AAS C.SAS D.HL【解析】选 B.ACBD,A=B,- 2 -CEAB,DFAB,AEC=DFB,且 AC=BD,在 RtAEC 和 RtBFD 中,满足 AAS.4.已知 RtABC 中,C=90,B=30,AB=4,则下列各图中的直角三角形与 RtABC 全等的是 ( )【解析】选 A.在 RtABC 中,C=90,B=30,AB
3、=4,AC=2,A=60,在 A 选项中,同理可知斜边为 4,故由 HL 能判定两三角形全等.【易错提醒】由两直角三角形仅有一组边对应相等,判断其两个三角形全等是错误的!5.在ABC 中,AB=CB,ABC=90,F 为 AB 延长线上一点,点 E 在 BC 上,且 AE=CF.世纪金榜导学号 10164021(1)求证:RtABERtCBF.(2)若CAE=30,求ACF 的度数.【解析】(1)ABC=90,CBF=ABE=90,在 RtABE 和 RtCBF 中,A=,=,RtABERtCBF(HL).(2)AB=CB,ABC=90,CAB=ACB=45,又BAE=CAB-CAE=45-3
4、0=15,由(1)知:RtABERtCBF,BCF=BAE=15,ACF=BCF+ACB=15+45=60.题组 直角三角形全等的应用- 3 -1.(2017达州月考)如图,ABAC 于点 A,BDCD 于点 D,若 AC=DB,则下列结论中不正确的是 ( )A.A=D B.ABC=DCBC.OB=OD D.OA=OD【解析】选 C.ABAC 于点 A,BDCD 于点 D,A=D=90(A 正确).又AC=DB,BC=BC,RtABCRtDCB,ABC=DCB(B 正确),AB=CD.又AOB=COD,AOBDOC,OA=OD(D 正确),C 中 OD,OB 不是对应边,不相等.2.如图,在
5、RtABC 与 RtDEF 中,B=E=90,AC=DF,AB=DE,A=50,则DFE=_.世纪金榜导学号 10164022【解析】在 RtABC 与 RtDEF 中,B=E=90,AC=DF,AB=DE,RtABCRtDEF(HL)D=A=50,DFE=90-D=90-50=40.答案:40- 4 -3.如图,BE,CD 是ABC 的高,且 BD=EC,CD=5,则 BE=_.【解析】BE,CD 是ABC 的高,CDB=BEC=90,在 RtBCD 和 RtCBE 中,BD=EC,BC=CB,RtBCDRtCBE(HL).BE=CD=5.答案:54.如图,D 为 RtABC 中斜边 BC
6、上的一点,且 BD=AB,过 D 作 BC 的垂线,交 AC 于点 E,若 AE=12cm,则 DE 的长为_cm.【解析】连接 BE.D 为 RtABC 中斜边 BC 上的一点,且 BD=AB,过 D 作 BC 的垂线,交 AC 于 E,A=BDE=90,在 RtDBE 和 RtABE 中,BD=AB(已知),BE=BE(公共边),RtDBERtABE(HL),AE=DE.又AE=12cm,DE=12cm.答案:12- 5 -(2017兰陵县期末)在ABC 中,AB=AC,DE 是过点 A 的直线,BDDE 于点 D,CEDE 于点 E.世纪金榜导学号 10164023(1)若 B,C 在
7、DE 的同侧(如图所示)且 AD=CE.求证:ABAC.(2)若 B,C 在 DE 的两侧(如图所示),其他条件不变,AB 与 AC 仍垂直吗?若是请给出证明;若不是,请说明理由.【解析】(1)BDDE,CEDE,ADB=AEC=90,在 RtABD 和 RtACE 中,AB=AC,AD=CE,RtABDRtCAE.DAB=ECA,DBA=CAE.DAB+DBA=90,EAC+ACE=90,BAD+CAE=90.BAC=180-(BAD+CAE)=90.ABAC.(2)ABAC.证明如下:同(1)一样可证得 RtABDRtCAE.DAB=ECA,DBA=EAC,CAE+ECA=90,CAE+B
8、AD=90,即BAC=90,ABAC.【母题变式】- 6 -变式一如图,MNPQ,ABPQ,点 A,D,B,C 分别在直线 MN 与 PQ 上,点 E 在 AB 上,AD+BC=7,AD=EB,DE=EC,则 AB=_.【解析】MNPQ,ABPQ,ABMN,DAE=EBC=90,在 RtADE 和 RtBEC 中,DE=EC,AD=BE,ADEBEC(HL),AE=BC,AD+BC=7,AB=AE+BE=AD+BC=7.答案:7变式二(2017微山县期末)如图,两棵大树间相距 13m,小华从点 B 沿 BC 走向点 C,行走一段时间后他到达点 E,此时他仰望两棵大树的顶点 A 和 D,两条视线
9、的夹角正好为 90,且 EA=ED.已知大树 AB 的高为 5m,小华行走的速度为 1m/s,小华走的时间是 ( )A.13s B.8s C.6s D.5s【解析】选 B.AED=90,AEB+DEC=90,ABE=90,A+AEB=90,A=DEC,在ABE 和DCE 中,B=C,A=DEC,AE=DE,ABEECD(AAS),EC=AB=5m,BC=13m,BE=8m,- 7 -小华走的时间是 81=8(s).变式三(2017无锡月考)如图,在 RtABC 中,BAC=90,AB=AC,分别过点 B,C 作过点 A 的直线的垂线BD,CE,若 BD=4cm,CE=3cm,则 DE=_cm.
10、【解析】在 RtABC 中,BAC=90,ADB=AEC=90,BAD+EAC=90,BAD+ABD=90,EAC=ABD,AB=AC,ABDCAE(AAS),AD=CE,BD=AE,DE=AD+AE=CE+BD=7cm.答案:7变式四(2017玉田县期末)如图,AB=12,CAAB 于点 A,DBAB 于点 B,且 AC=4m,P 点从 B 向 A 运动,每分钟走 1m,Q 点从 B 向 D 运动,每分钟走 2m,P,Q 两点同时出发,运动_分钟后CAP 与PQB 全等.【解析】CAAB 于点 A,DBAB 于点 B,A=B=90,设运动 x 分钟后CAP 与PQB 全等;则 BP=xm,BQ=2xm,则 AP=(12-x)m,分两种情况:若 BP=AC,则 x=4,AP=12-4=8,BQ=8,AP=BQ,CAPPBQ;- 8 -若 BP=AP,则 12-x=x,解得:x=6,BQ=12AC,此时CAP 与PQB 不全等;综上所述:运动 4 分钟后CAP 与PQB 全等.答案:4
