1、- 1 -直角三角形一课一练基础闯关题组 勾股定理及其逆定理的应用1.(2017老河口市期中)如图,在ABC 中,ACB=90,CDAB,垂足为点 D,若 AC=6,BC=8,则 CD 等于 ( )世纪金榜导学号 10164016A.1 B.2 C.3 D.4.8【解析】选 D.ACB=90,AB= =10,A2+2根据面积相等得 ACBC= ABCD,12 12即 68= 10CD,12 12解得 CD=4.8.2.如图,一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60方向,与灯塔 P 的距离为 30 海里的 A 处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 30方向上的 B 处,则此时
2、轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为 ( )A.60 海里 B.45 海里C.20 海里 D.30 海里3 3【解析】选 D.由题意可得:B=30,AP=30 海里,APB=90,- 2 -故 AB=2AP=60(海里),则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P 之间的距离为:BP= =30 (海里).A22 33.(2017荆州中考)九章算术中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺.问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10 尺),一阵风将竹子折断,其竹稍恰好抵地,抵地处离竹子底部 6 尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为 x 尺,则可列方程为
3、 世纪金榜导学号 10164017( )A.x2-6=(10-x)2 B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2 D.x2+62=(10-x)2【解析】选 D.如图,设折断处离地面的高度为 x 尺,则 AB=10-x,BC=6,在 RtABC 中,AC 2+BC2=AB2,即 x2+62=(10-x)2.4.(2017绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7 米,顶端距离地面 2.4 米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面 2 米,则小巷的宽度为 ( )A.0.7 米 B.1.5 米 C.2.2 米 D
4、.2.4 米【解析】选 C.在 RtACB 中,ACB=90,BC=0.7 米,AC=2.4 米,- 3 -AB 2=0.72+2.42=6.25.在 RtABD 中,ADB=90,AD=2 米,BD2+AD 2=AB 2,BD 2+22=6.25,BD 2=2.25,BD0,BD=1.5 米,CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2 米.5.如图,在ABC 中,AB=BC=4,AO=BO,P 是射线 CO 上的一个动点,AOC=60,则当PAB 为直角三角形时,AP 的长为_. 世纪金榜导学号 10164018【解析】(1)若APB=90,当点 P 在 OC 上时,AP= AB=2;12当点
5、 P 在 CO 的延长线上时,BP= AB=2,AP=2 .12 3(2)当PBA=90时,BP=2 ,AP= = =2 .3 A2+2 16+12 7答案:2 或 2 或 23 7【归纳整合】勾股定理主要用来求三角形的边长,只要知道直角三角形的两条边,就可以求出它的第三条边,当我们只知道直角三角形的一条边时,如果我们可以找到另外两边的关系,也可以通过列方程(组)的方法求出另外两条边.若未指明哪条边是直角边或斜边时,要分类讨论防止漏解.6.如图,为修铁路需凿通隧道 AC,测得A=50,B=40,AB=5km,BC=4km,若每天凿隧道 0.3km,问几天才能把隧道凿通?- 4 -【解析】A=5
6、0,B=40,C=90,AC 2=AB2-BC2=52-42=9,AC=3km, =10(天),30.310 天才能将隧道凿通.题组 互逆命题和互逆定理1.命题“同角的补角相等”的逆命题是 ( )A.真命题B.假命题C.有时是真命题,有时是假命题D.互补的两个角相等【解析】选 B.同角的补角相等的逆命题是补角相等的两个角是同角,这句话是错误的,所以是假命题.2.(2017汇川区校级月考)下列定理中,没有逆定理的是 ( )A.等腰三角形的两个底角相等B.对顶角相等C.三边对应相等的两个三角形全等D.直角三角形两个锐角的和等于 90【解析】选 B.等腰三角形的两个底角相等的逆命题为:有两个角相等的
7、三角形为等腰三角形,此逆命题为真命题,所以 A 选项有逆定理;对顶角相等的逆命题为:相等的角为对顶角,此命题为假命题,所以 B 选项没有逆定理;三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为:全等的两个三角形的三边对应相等,此逆命题为真命题,所以 C 选项有逆定理;直角三角形的两锐角的和为 90的逆命题为:两锐角的和为 90的三角形为直角三角形,此逆命题为真命题,所以 D 选项有逆定理.- 5 -【归纳整合】互逆命题和互逆定理的真假关系(1)互逆命题的真假没有必然的联系,它们的真假都必须经过说明论证或经过反例验证(假命题),原命题真,逆命题不一定真,原命题假,而逆命题不一定假.(2)因为一个定理的逆命
8、题不一定是真命题,所以并不是所有的定理都有逆定理.3.(2017孝南区月考)“等角的余角相等”的逆命题是_.【解析】 “等角的余角相等”改写成“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.所以:“等角的余角相等”的条件是:两个角相等;结论是:它们的余角也相等,逆命题是:如果两个角的余角相等,那么这两个角相等.答案:如果两个角的余角相等,那么这两个角相等4.下列命题:若 a0,则 a20;和为 180的两个角互为补角.其中逆命题为真命题的是_.【解析】的逆命题是“若 a20,则 a0”,是假命题;的逆命题是“互为补角的两个角的和为 180”,是真命题;故逆命题为真命题的是.答案:5.写出下列命题的逆
9、命题,并判定真假.(1)如果 x2=4,那么 x=2.(2)全等三角形的面积相等.【解析】(1)如果 x=2,那么 x2=4,真命题.(2)面积相等的三角形是全等三角形,假命题.已知三角形的三边分别为 a,b,c,且 a=m-1,b=2 ,c=m+1(m1). 世纪金榜导学号 10164019m(1)请判断这个三角形的形状.(2)试找出一组直角三角形的三边的长,使它的最小边不小于 20,另两边的差为 2,三边均为正整数.【解析】(1)(m-1) 2+(2 )2m=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=(m+1)2,a 2+b2=c2,这个三角形一定是直角三角形.- 6 -(2)取 b=20,即
10、 2 =20,mm=100,a=m-1=99,c=m+1=101.直角三角形的三边长可以是 20,99,101.(答案不唯一)【母题变式】变式一已知三角形的三边长分别是 a2+1,2a,a2-1(a1),则这个三角形是直角三角形吗?请说明理由.【解析】是;理由如下:(a 2-1)2+(2a)2=a4-2a2+1+4a2=(a2+1)2,这个三角形是直角三角形.变式二(2017黄冈期中)已知 a,b,c 满足(a-7.5) 2+ +|c-8.5|=0.求:b4(1)a,b,c 的值.(2)求以 a,b,c 为边构成的三角形面积.【解析】(1)a,b,c 满足(a-7.5) 2+ +|c-8.5|
11、=0,b4a-7.5=0,b-4=0,c-8.5=0.解得:a=7.5,b=4,c=8.5.(2)a=7.5,b=4,c=8.5,a 2+b2=7.52+42=72.25=8.52=c2,此三角形是直角三角形,S = 7.54=15.12变式一(2017渝水区校级月考)已知 a,b,c 是ABC 的三边,且满足(a+4)(b+3)(c+8)=324,且 a+b+c=12,请探索ABC 的形状.【解析】令 a+4=3k,b+3=2k,c+8=4k,a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8.又a+b+c=12,- 7 -(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12,k=3.a=5,b=3,c=4.b 2+c2=a2,ABC 是直角三角形.变式二已知 a,b,c 为ABC 的三边之长,且满足 a4-b4-a2c2+b2c2=0,试判断ABC 的形状.【解析】a 4-b4-a2c2+b2c2=0,(a 2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0,(a 2-b2)(a2+b2-c2)=0,a 2-b2=0 或 a2+b2=c2.a=b 或 a2+b2=c2.ABC 是等腰三角形或直角三角形.
