1、- 1 -等腰三角形一课一练基础闯关题组 等边三角形判定定理的应用1.(2017静宁县期中)ABC 中,AB=AC,A=C,则ABC 是 ( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.不等边三角形 D.不能确定【解析】选 B.ABC 中,AB=AC,B=C,又A=C,A=B=C.ABC 是等边三角形.2.如图,E 是等边ABC 中 AC 边上的点,1=2,BE=CD,则ADE 的形状是 世纪金榜导学号 10164012( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.不等边三角形 D.不能确定形状【解析】选 B.ABC 为等边三角形,AB=AC.1=2,BE=CD,ABEACD,AE=AD,BAE=CAD=6
2、0,ADE 是等边三角形.3.(2017新城区期中)如图,ABC 是等边三角形,DEBC,若 AB=5,BD=3,则ADE 的周长为 ( )- 2 -A.2 B.6 C.9 D.15【解析】选 B.ABC 为等边三角形,A=B=C=60,DEBC,ADE=AED=B=C=60,ADE 为等边三角形,AB=5,BD=3,AD=AB-BD=2,ADE 的周长为 6.4.(2017安陆市期中)ABC 中,B=60,AB=AC,BC=3,则ABC 的周长为_.【解析】AB=AC,ABC 是等腰三角形,又B=60,ABC 是等边三角形,AB=BC=CA=3,ABC 的周长为 9.答案:95.在ABC 中
3、,A=60,ABC,ACB 所对的边 b,c 满足 b2+c2-4(b+c)+8=0.求证:ABC 是边长为 2 的等边三角形.世纪金榜导学号 10164013【证明】b 2+c2-4(b+c)+8=0,(b-2) 2+(c-2)2=0,b=c=2,- 3 -又A=60,所以ABC 是边长为 2 的等边三角形. 题组 含 30角的直角三角形的性质1.(2017蒙阴县一模)如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中 AB,CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线,ABC=150,BC 的长是 8m,则乘电梯从点 B 到点 C 上升的高度 h 是 ( )A. m B.4m833C.4m D.8m
4、【解析】选 B.过 C 作 CMAB 于 M,则 CM=h,CMB=90,ABC=150,CBM=30,h=CM= BC=4m.122.(2017河池中考)已知等边ABC 的边长为 12,D 是 AB 上的动点,过 D 作 DEAC 于点 E,过 E 作 EFBC于点 F,过 F 作 FGAB 于点 G.当 G 与 D 重合时,AD 的长是 ( )世纪金榜导学号 10164014A.3 B.4 C.8 D.9【解析】选 C.设 BD=x,ABC 是等边三角形,A=B=C=60,- 4 -DEAC,EFBC,FGAB,BDF=DEA=EFC=90,BF=2x,CF=12-2x,CE=2CF=24
5、-4x,AE=12-CE=4x-12,AD=2AE=8x-24,AD+BD=AB,8x-24+x=12,x=4,BD=4,AD=12-4=8.3.如图,在ABC 中,C=90,B=30,AD 平分CAB,交 BC 于点 D,若 CD=1,则 BD=_.【解析】C=90,B=30,CAB=60,AD 平分CAB,BAD=CAD=30,BD=AD=2CD=2.答案:2【归纳整合】直角三角形的特殊边角关系1.两锐角的关系:直角三角形的两锐角互余.- 5 -2.三边关系:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.3.边角之间的关系:在直角三角形中,如果一个内角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一
6、半.4.在ABC 中,AB=AC,BAC=120,ADAC 于点 A,世纪金榜导学号 10164015(1)求BAD 的度数.(2)证明:DC=2BD.【解析】(1)ADAC,DAC=90.BAC=120,BAD=BAC-DAC=120-90=30.(2)AB=AC,BAC=120,B=C=30.DAC=90,DC=2AD.BAD=B=30,AD=BD,DC=2BD.【变式训练】在等腰三角形 ABC 中,AB=AC=2a,底角为 15,求腰上的高 CD 的长.【解析】ABC=ACB=15,DAC=ABC+ACB=15+15=30,又ADC=90,CD= AC= 2a=a.12 12如图,ABC
7、 是等边三角形,P 为ABC 内部一点,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后能与ACP重合,如果 AP=3,求 PP的长.【解析】ABC 是等边三角形,BAC=60.ABP 绕 A 点逆时针旋转后与ACP重合,AP=AP,BAP=CAP,- 6 -BAC=BAP+CAP=CAP+CAP=PAP=60,APP为等边三角形,PP=AP=3.【母题变式】变式一如图,将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 度后得到AED,连接 BE,CD,若BAC=30,则下列说法:BC=ED;ABE 和ACD 都是等边三角形;CAE=30;AECD.其中正确的说法是 ( )A. B. C. D.【解析】选 D.AED 由
8、ABC 旋转而成,BC=DE,故正确;将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60 度后得到AED,BAE=60,AB=AE,ABE 是等边三角形;同理,CAD=60,AC=AD,ACD 是等边三角形,故正确;BAE=60,BAC=30,CAE=30,故正确;ACD 是等边三角形,CAE=30,AE 是CAD 的平分线,AECD,故正确.变式二如图,点 A,B,C 在一条直线上,ABD,BCE 均为等边三角形,连接 AE 和 CD,AE 分别交 CD,BD 于点M,P,CD 交 BE 于点 Q,连接 PQ,下面结论:ABEDBC;DMA=60;BPQ 为等边三角形;PQAC.其中结论正确的有 ( )A
9、.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个- 7 -【解析】选 D.ABD,BCE 为等边三角形,AB=DB,ABD=CBE=60,BE=BC,ABE=DBC,PBQ=60,在ABE 和DBC 中,AB=DB,ABE=DBC,BE=BC,ABEDBC(SAS),正确;ABEDBC,BAE=BDC,BDC+BCD=180-60-60=60,DMA=BAE+BCD=BDC+BCD=60,正确;在ABP 和DBQ 中,BAP=BDQ,AB=DB,ABP=DBQ=60,ABPDBQ(ASA),BP=BQ,BPQ 为等边三角形,正确;BPQ 是等边三角形,PQB=60,PQB=QBC,PQAC,故正确.变式三如图,ABC 是等边三角形,分别延长 AB 至点 F,BC 至点 D,CA 至点 E,使 AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,求证:DEF 是等边三角形.- 8 -【证明】ABC 是等边三角形,EAF=FBD=DCE=120.AB=BC=CA,AF=3AB,BD=3BC,CE=3CA,AF=BD=CE,AE=BF=CD,AEFBFDCDE.EF=FD=DE.即DEF 是等边三角形.
