1、- 1 -等腰三角形一课一练基础闯关题组 等腰三角形判定定理的应用1.(2017新会区期末)下列长度的三线段,能组成等腰三角形的是 ( )A.1,1,2 B.2,2,5C.3,3,5 D.3,4,5【解析】选 C.1+1=2,无法构成三角形,故 A 选项错误;2+25,3=3,故组成等腰三角形,故 C 选项正确;3,4,5 没有相等的边,不是等腰三角形,故 D 选项错误.2.(2017丛台区月考)下列条件能判定ABC 为等腰三角形的是 世纪金榜导学号 10164008( )A.A=30,B=60B.AB=5,AC=12,BC=13C.A=30,B=75D.ABC=345【解析】选 C.当A=3
2、0,B=60时,C=90,不是等腰三角形,A 选项错误.当AB=5,AC=12,BC=13,52+122=132,所以是直角三角形,不是等腰三角形,B 选项错误;当A=30,B=75,C=75,是等腰三角形,C 选项正确,当ABC=345,三个内角度数分别为 45,60,75,不是等腰三角形,D 选项错误.3.(2017单县期中)在ABC 中,A 的相邻外角是 70,要使ABC 为等腰三角形,则B 为 ( )A.70 B.35C.110或 35 D.110【解析】选 B.A 的相邻外角是 70,A=180-70=110,ABC 为等腰三角形,B= (180-110)=35.12- 2 -4.(
3、2017周村区一模)如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是 ( )【解析】选 B.A.如图所示,ACD 和BCD 都是等腰三角形;B.不能够分成两个等腰三角形;C.如图所示,ACD 和BCD 都是等腰三角形;D.如图所示,ACD 和BCD 都是等腰三角形.5.如图,BAC=100,B=40,D=20,AB=3,则 CD=_. 世纪金榜导学号 10164009【解题指南】解答本题的关键是:从已知中求出图形中各个角的度数,然后找出相等的角,根据“等角对等边”,将未知 CD 与已知 AB“搭桥”.【解析】BAC=100,B=40,
4、ACB=40,- 3 -D=20,CAD=20,CD=AC=AB=3.答案:36.如图,ABC 中,BA=BC,点 D 是 AB 延长线上一点,DFAC 于点 F,交 BC 于点 E.求证:DBE 是等腰三角形.【证明】因为 BA=BC,所以A=C.因为 DFAC 于点 F,交 BC 于点 E,所以C+CEF=90,A+D=90,所以D=CEF.又因为CEF=DEB,所以D=DEB,所以 BD=BE,所以DBE 是等腰三角形.题组 反证法的应用1.用反证法证明真命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时,应假设 ( )A.四边形中至多有一个角是钝角或直角B.四边形中至少有两个角是钝角或直角C.
5、四边形中四个角都是钝角或直角D.四边形中没有一个角是钝角或直角【解析】选 D.因为“至少有一个”的反面是“没有一个”,所以用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设:四边形中没有一个角是钝角或直角.2.(2017雨城区月考)用反证法证明“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”时,第一步应假设为 世纪金榜导学号 10164010( )- 4 -A.a,b,c 都是奇数B.a,b,c 都是奇数或至少有两个偶数C.a,b,c 都是偶数D.a,b,c 中至少有两个偶数【解析】选 B.用反证法证明一个命题成立,首先假设命题的否定成立.因为“自然数 a,b,c 中恰有一个偶数”的反面是“
6、自然数 a,b,c 中有两个偶数或都是偶数”,因此选 B.3.若 ab,bc,证明 ac.用反证法证明的第一步是先假设_ _.【解析】用反证法证明 ac 时,应先假设 a 与 c 不平行.答案:a 与 c 不平行4.用反证法证明:等腰三角形两底角必为锐角.【证明】设等腰三角形底角B,C 都是直角,则B+C=180,而A+B+C=180+A180,这与三角形内角和等于 180矛盾.设等腰三角形的底角B,C 都是钝角,则B+C180,而A+B+C 180,这与三角形内角和等于 180矛盾.综上所述,假设错误,所以B,C 只能为锐角.故等腰三角形两底角必为锐角.【归纳整合】运用反证法应注意的问题1.
7、必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的关键.2.必须明确推理的特点否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准.只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束.3.了解矛盾的种类反证法推理过程中出现的矛盾是多种多样的,推理导出的结果可能与题设或部分题设矛盾,可能与已知真命题(定义或基本事实或定理或性质)相矛盾,可能与临时假设矛盾,或推出一对相互矛盾的结果等.- 5 -(2017北京中考)如图,在ABC 中,AB=AC,A=36,BD 平分ABC 交 AC 于点 D.求证:AD=BC. 世纪金榜导学号
8、10164011【证明】AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD 平分ABC,交 AC 于点 D,ABD=DBC=36,BDC=72,A=ABD,BDC=C,AD=BD=BC,AD=BC.【母题变式】变式一如图,在ABC 中,AB=AC,A=36,BD,CE 分别是ABC,BCD 的平分线,则图中的等腰三角形有 ( )A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个【解析】选 A.共有 5 个.AB=AC,ABC 是等腰三角形;BD,CE 分别是ABC,BCD 的平分线,EBC= ABC,ECB= BCD,12 12AB=AC,ABC=ACB,- 6 -EBC=ECB,BCE 是等腰三角形;
9、A=36,AB=AC,ABC=ACB= (180-36)=72,12又 BD 是ABC 的平分线,ABD= ABC=36=A,12ABD 是等腰三角形;同理可证CDE 和BCD 是等腰三角形.图中共有 5 个等腰三角形.变式二如图 1,在ABC 中,A=36,AB=AC,BD 是ABC 的角平分线.若在边 AB 上截取 BE=BC,连接 DE,则图中等腰三角形共有 ( )图 1A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【解析】选 D.AB=AC,ABC 是等腰三角形;AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD 是ABC 的角平分线,- 7 -ABD=DBC= ABC=36,12A=ABD
10、=36,BD=AD,ABD 是等腰三角形;在BCD 中,BDC=180-DBC-C=180-36-72=72,C=BDC=72,BD=BC,BCD 是等腰三角形;BE=BC,BD=BE,BDE 是等腰三角形;BED=(180-36)2=72,ADE=BED-A=72-36=36,A=ADE,DE=AE,ADE 是等腰三角形;图中的等腰三角形有 5 个.变式三如图 2,在ABC 中,A=36,AB=AC,BD,CE 分别为ABC 的角平分线,BD,CE 相交于 O,则图中等腰三角形有 ( )图 2A.5 个 B.6 个 C.7 个 D.12 个- 8 -【解析】选 D.在等腰ABC 中,A=36
11、,ABC=ACB=72,BD,CE 平分ABC,ACB,ABD=DBC=ACE=BCE=36,BEC=CDB=72,在ACE 和ABD 中,A=A,AC=AB,ACE=ABD,ACEABD,AE=AD,AED=ADE=72,AED=ABC,EDBC,CED=BDE=36,图中相等的角有:A=ABD=ACE=ECB=DBC=CED=BDE=36,ABC=ACB=BEC=CDB=BOE=COD=AED=ADE=72,因此等腰三角形有:ABC,ADE,ABD,ACE,BDE,BCE,BEO;CDB,CDE,CDO,EDO,BOC;共12 个.变式四(2017简阳市期末)如图 3,在ABC 中,ABC
12、=60,C=45,AD 是 BC 边上的高,ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 F,则图中共有等腰三角形 ( )图 3A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个【解析】选 B.ABC=60,ACB=45,AD 是高,- 9 -DAC=45,CD=AD,ADC 为等腰直角三角形,ABC=60,BE 是ABC 的平分线,ABE=CBE=30,在ABD 中,BAD=180-ABD-ADB=180-60-90=30,ABF=BAD=30,AF=BF,即ABF 是等腰三角形,在ABC 中,BAC=180-ABC-ACB=180-60-45=75,AEB=CBE+ACB=30+45=75,BAE=BEA,AB=EB,即ABE 是等腰三角形,等腰三角形有ACD,ABF,ABE,共 3 个.变式五 (2017江都区校级期中)如图 4,在ABC 中,ABC=ACB=72,BD,CE 分别是ABC 和ACB 的平分线,它们的交点为 F,则图中等腰三角形有_个.【解析】由题意可得:ABD=DBC=ECB=ACE=A=36,ABC=ACB=CDB=CFD=BFE=BEF=72,ABC,ABD,ACE,BEF,CDF,BCF,BCE,BCD 均为等腰三角形,图中共有 8 个等腰三角形.答案:8- 10 -
