1、- 1 -等腰三角形一课一练基础闯关题组 等腰三角形中相关线段的性质1.(2017和县模拟)等腰三角形顶角是 84,则一腰上的高与底边所成的角的度数是 ( )A.42 B.60 C.36 D.46【解析】选 A.如图:ABC 中,AB=AC,BD 是边 AC 上的高.A=84,且 AB=AC,ABC=C=(180-84)2=48;在 RtBDC 中,BDC=90,C=48;DBC=90-48=42.2.(2017崇州市期末)如图,在ABC 中,AB=AC,BD 平分ABC 交 AC 于点 D,AEBD 交 CB 的延长线于点 E,若E=35,则BAC 的度数为 ( )世纪金榜导学号 10164
2、004A.40 B.45 C.50 D.55【解析】选 A.AEBD,CBD=E=35,BD 平分ABC,CBA=70,AB=AC,C=CBA=70,BAC=180-702=40.3.如图,在ABC 中,AB=AC,A=30,E 为 BC 延长线上一点,ABC 与ACE 的平分线相交于点 D,则D 的度数为 ( )A.15 B.17.5- 2 -C.20 D.22.5【解析】选 A.ABC 的平分线与ACE 的平分线交于点 D,1=2,3=4,ACE=A+ABC,即1+2=3+4+A,21=23+A,1=3+D,D= A= 30=15.12 124.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成
3、 15cm 和 9cm,则它的周长为_.【解析】若腰长和腰长的一半的和是 9,则腰长为 6,底边长为 15- 6=12,126+6=12,此时不能组成三角形;若腰长和腰长的一半的和是 15,则腰长为 10,底边长为 9- 10=4,能组成三角形,12它的周长为 10+10+4=24(cm).综上所述,该等腰三角形的周长是 24cm.答案:24cm【易错提醒】此类问题要分情况进行讨论,且要注意检验得到的三边能否构成三角形.【备选习题】已知等腰三角形一腰上的中线把周长分为 15 和 27 两部分,则这个等腰三角形的底边长是 ( )A.6 B.22C.6 或 22 D.10 或 18【解析】选 A.
4、设 AD=x,- 3 -则当 2x+x=15 时,x=5,即 AB=AC=10,底边长为 27-5=22(不符合三角形三边关系,舍去);当 2x+x=27 时,x=9,即 AB=AC=18,底边长为 15-9=6(符合三角形的三边关系),综上可知,底边 BC 的长为 6.5.如图,已知ABC 中,AB=AC,BD,CE 是高,BD 与 CE 相交于点 O. 世纪金榜导学号 10164005(1)求证:OB=OC.(2)若ABC=50,求BOC 的度数.【解析】(1)AB=AC,ABC=ACB,BD,CE 是ABC 的两条高线,BEC=BDC=90,BECCDB.DBC=ECB,BE=CD.在B
5、OE 和COD 中,BOE=COD,BE=CD,BEC=BDC=90,BOECOD,OB=OC.(2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80,DOE+A=180,BOC=DOE=180-80=100.题组 等边三角形的性质及应用1.(2017南充中考)如图,等边OAB 的边长为 2,则点 B 的坐标为 ( )- 4 -A.(1,1) B.( ,1)3C.( ,3) D.(1, )3 3【解析】选 D.如图所示,过点 B 作 BCAO 于点 C,AOB 是等边三角形,OC= AO=1,12在 RtBOC 中,BC= = ,O22 3B(1, ).32.如图,直线 y=2x+4 与 x
6、,y 轴分别交于 A,B 两点,以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC,将点 C 向左平移,使其对应点 C恰好落在直线 AB 上,则点 C的坐标为_.世纪金榜导学号 10164006【解析】直线 y=2x+4 与 y 轴交于 B 点,x=0 时,得 y=4,B(0,4).以 OB 为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC,C 在线段 OB 的垂直平分线上,C 点纵坐标为 2.将 y=2 代入 y=2x+4,得 2=2x+4,- 5 -解得 x=-1.所以点 C的坐标为(-1,2).答案:(-1,2)3.如图,ABD,ACE 都是等边三角形,BE 和 CD 交于 O 点,则BOC=_度.
7、【解析】ABD,ACE 都是等边三角形,AD=AB,DAB=EAC=60,AC=AE,DAC=EAB,DACBAE(SAS),DC=BE,ADC=ABE,AEB=ACD,BOC=CDB+DBE=CDB+DBA+ABE=ADC+CDB+DBA=120.答案:120【变式训练】如图,O 为等边三角形 ABC 内一点,OCB=ABO,则BOC 的度数是_.【解析】ABC 是等边三角形,ABC=60,OCB=ABO,OBC+OCB=OBC+ABO=ABC=60,在OBC 中,BOC=180-(OBC+OCB)=180-60=120.答案:1204.(2017宁夏中考)在边长为 2 的等边三角形 ABC
8、 中,P 是 BC 边上任意一点,过点 P 分别作PMAB,PNAC,M,N 分别为垂足.- 6 -求证:不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高.【证明】连接 AP,过 C 作 CDAB 于 D,ABC 是等边三角形,AB=AC,S ABC =SABP +SACP , ABCD= ABPM+ ACPN,12 12 12PM+PN=CD,即不论点 P 在 BC 边的何处时都有 PM+PN 的长恰好等于三角形 ABC 一边上的高.5.如图,P 是等边三角形 ABC 内的一点,连接 PA,PB,PC,以 BP 为边作PBQ=60,且 BQ=BP,连接
9、 CQ.观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系,并证明你的结论.世纪金榜导学号 10164007【解析】猜想:AP=CQ.证明:在ABP 与CBQ 中,AB=CB,BP=BQ,ABC=PBQ=60,ABP=ABC-PBC=PBQ-PBC=CBQ,ABPCBQ,AP=CQ.(2017淄博中考)在边长为 4 的等边三角形 ABC 中,点 D 为 BC 边上的任意一点,过点 D 分别作DEAB,DFAC,垂足分别为 E,F,则 DE+DF=_.- 7 -【解析】如图,作 AGBC 于点 G,ABC 是等边三角形,B=60,AG= AB=2 ,32 3连接 AD,则 SABD +SACD =SAB
10、C , ABDE+ ACDF= BCAG,12 12 12AB=AC=BC=4,DE+DF=AG=2 .3答案:2 3【母题变式】变式一(2017唐河县期末)如图,在ACB 中,有一点 P 在 AC 上移动,若 AB=AC=5,BC=6,则 AP+BP+CP 的最小值为 ( )A.4.8 B.8C.8.8 D.9.8【解析】选 D.从 B 向 AC 作垂线段 BP,交 AC 于 P,点 P 即为所求.设 AP=x,则 CP=5-x,在 RtABP 中,BP 2=AB2-AP2,在 RtBCP 中,BP 2=BC2-CP2,AB 2-AP2=BC2-CP2,5 2-x2=62-(5-x)2,解得
11、 x=1.4,在 RtABP 中,BP= =4.8,521.42AP+BP+CP 的最小值为 5+4.8=9.8.变式二已知等边三角形的边长为 3,点 P 为等边三角形内任意一点,则点 P 到三边的距离之和为 ( )- 8 -A. B.32 332C. D.不能确定32【解析】选 B.等边三角形的边长是 3,所以等边三角形的高是 .设点 P 到三边的距离分别为 h1,h2,h3,332则 3(h1+h2+h3)= 3 ,所以 h1+h2+h3= .12 12 332 332变式三已知等边三角形 ABC 的高为 4,在这个三角形内有一点 P,若点 P 到 AB 的距离是 1,点 P 到 AC 的
12、距离是 2,则点 P 到 BC 的距离是_.【解析】如图,连接 PA,PB,PC,作 PDAB 于点 D,PEBC 于点 E,PFAC 于点 F,AHBC 于点 H,则 PD=1,PF=2,AH=4,ABC 为等边三角形,AB=BC=AC,S ABC =SAPB +SBPC +SCPA , AHBC= PDAB+ PEBC+ PFAC,12 12 12 124=1+PE+2,PE=1,即点 P 到 BC 的距离为 1.答案:1变式四等边三角形的边长为 a,P 是等边三角形内一点,则 P 到三边的距离之和是_.【解析】如图,等边三角形的边长为 a,- 9 -等边三角形的高为 a,32连接 PA,PB,PC,设点 P 到 AB,BC,AC 边的距离分别为 h1,h2,h3,则 SABC = a a= ABh1+ BCh2+ ACh3,即 a a= ah1+ ah2+ ah3,12 32 12 12 12 12 32 12 12 12整理得,h 1+h2+h3= a,32即 P 到三边的距离之和是 a.32答案: a32
