1、- 1 -*3 垂径定理【教学目标】知识技能目标:1.利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.2.运用垂径定理及其逆定理解决问题.过程性目标:经历运用圆的轴对称性探索圆的相关性质的过程,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.情感态度目标:通过学习垂径定理及其逆定理的证明,使学生领会数学的严谨性和探索精神,培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.【重点难点】重点:利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理.难点:垂径定理及其逆定理的证明,以及应用时如何添加辅助线.【教学过程】一、创设情境1.等腰三角形是轴对称图形吗?2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折,可以发现什么结论?3.如果以这
2、个等腰三角形的顶角顶点为圆心,腰长为半径画圆,得到的图形是否是轴对称图形呢?二、探究归纳1.如图,AB 是O 的一条弦,作直径 CD,使 CDAB,垂足为 M.(1)该图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.条件:CD 是直径;CDAB结论(等量关系):AM=BM; = ; = .证明:连接 OA,OB,则 OA=OB.在 RtOAM 和 RtOBM 中,OA=OB,OM=OM,RtOAMRtOBM.AM=BM.点 A 和点 B 关于 CD 对称.O 关于直径 CD 对称,当圆沿着直径 CD 对折时,点 A 与点 B 重合,和 重合, 和 重合. =
3、 , = .- 2 -.证明完毕后,让学生自行用文字语言表述这一结论,最后提炼出垂径定理的内容垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.辨析:判断下列图形,能否使用垂径定理?注意:定理中的两个条件缺一不可直径(半径),垂直于弦.通过以上辨析,让学生对垂径定理的两个条件的必要性有更充分的认识.3.垂径定理逆定理的探索如图,AB 是O 的弦(不是直径),作一条平分 AB 的直径 CD,交 AB 于点 M.(1)此图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)图中有哪些等量关系?说一说你的理由.条件:CD 是直径;AM=BM结论(等量关系):CDAB; = ; = .让学生模仿垂径定理
4、的证明过程,自行证明逆定理,并表述逆定理的内容平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.4.辨析:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.”如果该定理少了“不是直径”,是否也能成立?反例:_ 例:如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ,点 O 是 所在圆的圆心),其中 CD=600 m,E 为 上 的一点,且 OECD,垂足为 F,EF=90 m.求这段弯路的半径.解:连接 OC,设弯路的半径为 R m,则 OF=(R-90)m.OECD,- 3 -CF= CD= 600=300.12 12根据勾股定理,得 OC2=CF2+OF2,即 R2=3002+(
5、R-90)2.解这个方程,得 R=545.所以,这段弯路的半径为 545 m.三、交流反思学生交流总结1.利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2.解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连接半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件.四、检测反馈课本 P76 随堂练习 T1,T2五、布置作业课本 P76 知识技能 T1,T2,T3六、板书设计*3 垂径定理1 定理: 2.逆定理: 3.应用:探究 练习七、教学反思垂径定理及其逆定理的文字表述是一个难点,教师如果直接给出,则学生就少了一个锻炼表述能力和严谨地分析的机会.因此,应该让学生大胆表述,并对每位学生的表述严谨分析,找出漏洞,反复提炼,直至得出正确的说法,使学生得到更好的锻炼.
