1、专题五 规律探索题,题型概述,方法指导,规律探索型问题也是归纳猜想型问题,是指根据已知条件或题干所提供的若干特例,通过观察、类比、归纳,发现问题中的数学对象所具有的规律性的一类问题.规律探索型问题体现了“由特殊到一般”的数学思想方法,规律探索型问题大致可分为数式类规律探索问题、图形类规律探索问题和直角坐标系下的点坐标变化规律类,是中考的热点题型,考查同学们创新能力.考查的题型既有选择题、填空题,也有解答题,安徽中考连续6年都有考查,预计这类题仍然是2019年中考的热点.,题型概述,方法指导,解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现其变化的规律,并
2、猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以运用. 1.解决这类问题的关键是发现和把握规律.题目中呈现规律一般有三种主要途径: (1)式与数的特征观察. (2)图形的结构观察. (3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况. 2.规律探究的基本原则: (1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积找积的规律. (2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再验证运用规律.,类型一,类型二,类型一,类型二,类型一 数式的变化规律 例1(2018安徽,18)见正文P9第3题,类型三,类型一,类型二,例2(2017安徽,19)【阅读理解】 我们知道,1+2
3、+3+n= ,那么12+22+32+n2结果等于多少呢?,在图1所示的三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22;第n行n个圆圈中数的和为,类型三,类型一,类型二,【规律探究】 将三角形数阵型经过两次旋转可得如图2所示的三角形数阵型,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n-1行的第1个圆圈中的数分别为n-1,2,n),发现每个位置上三个圆圈中数的和均为 .由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2)= . 因此12+22+32+n2= .,【解决问题】,类型三,类型一,类型二,分析:【规律探究】将同一位置圆圈
4、中的数相加即可,所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数,据此可得,每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 ,从而得出答案;【解决问题】运用以上结论,将原式变形为,类型三,类型一,类型二,解:【规律探究】 由题意知,每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为: 3(12+22+32+n2),【解决问题】,类型三,类型一,类型二,类型二 图形的变化规律 例3(2016安徽,18)(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:,类型三,类型一,类型二,(2)观察下图,根据(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含n的代数式填空: 1
5、+3+5+(2n-1)+( )+(2n-1)+5+3+1= .,分析:(1)根据1+3+5+7=16可得出16=42;设第n幅图中球的个数为an,列出部分an的值,根据数据的变化找出变化规律“an-1=1+3+5+(2n-1)=n2”,依此规律即可解决问题; (2)观察(1)可将(2)图中的黑球分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行,再结合(1)的规律即可得出结论.,类型三,类型一,类型二,解析:(1)1+3+5+7=16=42, 设第n幅图中球的个数为an, 观察,发现规律:a1=1+3=22,a2=1+3+5=32,a3=1+3+5+7=42, 故an-1=1+3+5+(2n
6、-1)=n2. (2)观察图形发现: 图中黑球可分三部分,1到n行,第n+1行,n+2行到2n+1行, 即1+3+5+(2n-1)+2(n+1)-1+(2n-1)+5+3+1=1+3+5+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+5+3+1=an-1+(2n+1)+an-1=n2+2n+1+n2=2n2+2n+1. 答案:(1)4 n2 (2)2n+1 2n2+2n+1,类型三,类型一,类型二,例4(2012安徽,17)在由mn(mn1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:,类型三,类
7、型一,类型二,猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m,n的关系式是 (不需要证明); (2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立. 分析:(1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式. (2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可.,类型三,类型一,类型二,解:(1)如表:f=m+n-1 (2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图.,类型三,类型一,类型二,类型三,类型三 直角坐标系下点的坐标变化规律 例5(2013安徽,18)我们把正六边形的顶点及
8、其对称中心称作如图1所示基本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并平移,使得相邻两个基本图的一边重合,这样得到图2,图3,类型一,类型二,类型三,(1)观察以上图形并完成下表:猜想:在图(n)中,特征点的个数为 (用n表示); (2)如图,将图(n)放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1= ;图2013的对称中心的横坐标为 .,类型一,类型二,类型三,分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一次,特征点增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进一步猜想出:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-
9、1)=5n+2.,类型一,类型二,类型三,解析:(1)由题意,可知图1中特征点有7个; 图2中特征点有12个,12=7+51; 图3中特征点有17个,17=7+52; 所以图4中特征点有7+53=22个; 由以上猜想:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2. (2)如图,过点O1作O1My轴于点M,类型一,类型二,类型三,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,2.(2018湖北武汉)将正整数1至2 018按一定规律排列如下表:平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是 ( D ) A.2 019 B.2 018 C.2
10、016 D.2 013,1,2,3,4,5,6,7,8,解析:相邻三个整数的和是3的倍数,所给出的选项不是3的倍数的不符合题意;表格中每一行8个数,用所给选项除以3,再除以8,根据余数判断平移后的三个数是否在一行,在一行的符合题意,得出答案.设中间的数为x,则这三个数分别为x-1,x,x+1.这三个数的和为3x,所以和是3的倍数,又2 0193=673,673除以8的余数为1,x在第1列(舍去);2 1083=672且余2,故排除;2 0163=672,672除以8的余数为0,x在第8列(舍去);2 0133=671,671除以8的余数为7,x在第7列,所以这三数的和是2 013,故选答案D.
11、,1,2,3,4,5,6,7,8,3.(2018重庆B卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第个图形中有3张黑色正方形纸片,第个图形中有5张黑色正方形纸片,第个图形中有7张黑色正方形纸片,按此规律排列下去,第个图形中黑色正方形纸片的张数为( B )A.11 B.13 C.15 D.17,解析:根据第个图形中小正方形的个数为21+1,第个图形中小正方形的个数为22+1,第个图形中小正方形的个数为23+1,第n个图形中小正方形的个数为2n+1,故第个图形中小正方形的个数为26+1=13,故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,4.(2015安徽)按一定规律排列的一列数:21,22,
12、23,25,28,213,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜测x,y,z满足的关系式是xy=z .,解析:首项判断出这列数中,2的指数各项依次为1,2,3,5,8,13,从第三个数起,每个数都是前两数之和;然后根据同底数的幂相乘,底数不变,指数相加,可得这列数中的连续三个数,满足xy=z,据此解答即可.2122=23,2223=25,2325=28,2528=213,x、y、z满足的关系式是:xy=z.故答案为xy=z.,1,2,3,4,5,6,7,8,5.(2018辽宁抚顺)如图,正方形AOBO2的顶点A的坐标为A(0,2),O1为正方形AOBO2的中心;以正方形AOBO2的对角线AB
13、为边,在AB的右侧作正方形ABO3A1,O2为正方形ABO3A1的中心;再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边,在A1B的右侧作正方形A1BB1O4,O3为正方形A1BB1O4的中心;再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边,在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2,O4为正方形A1B1O5A2的中心;按照此规律继续下去,则点O2 018的坐标为(21 010-2,21 009) .,1,2,3,4,5,6,7,8,解析:由题图可知,A1B上有点O2,A2B1上有点O4,A3B2上有点O6,可得点O2 018在A1 009B1 008上,即点O6的纵坐标为点A1 009纵坐标的一半,横坐
14、标与点A1 009,B1 008的横坐标相同.设直线AA1交x轴于点C,RtCOARtCBA1RtCB1A2RtCB2A3并且这些直角三角形均为等腰直角三角形,且后一个三角形和前一个三角形的相似比为21,已知A(0,2),OC=OA,An的纵坐标为2n+1,横坐标为2n+1-2,点O2 018为(21 010-2,21 009).,1,2,3,4,5,6,7,8,6.(2018黑龙江龙东区)如图,已知等边ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边AB1C1;再以等边AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边AB2C2;再以等边AB2C2的B2
15、C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边AB3C3;,记B1CB2面积为S1,B2C1B3面积为,1,2,3,4,5,6,7,8,解析:首先要明确,图中所有的阴影直角三角形都是含30的直角三角形,它们都是相似的,对于每一个含30角的直角三角形,其三边,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,7.(2018合肥庐阳区一模)观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律:,(1)认真观察,并在后面的横线上写出相应的等式.,1,2,3,4,5,6,7,8,(2)结合(1)观察下列点阵图,并在后面的横线上写出相应的等式.1=12;1+3=22;3+6=32;6+10=4
16、2;10+15=52 ;,(3)通过猜想,写出(2)中与第n个点阵相对应的等式,(2)由图示可知点的总数是55=25, 所以10+15=52.,1,2,3,4,5,6,7,8,8.(2018合肥包河区质检一)如图,每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分),而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成,且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一,1,2,3,4,5,6,7,8,根据上述规律,解答下列问题:,(2)第n个图形的面积为: (用含n的式子填空); (3)上面的图形还可看成一个大正方形再减去中间1个小正方形组,再根据这个规律,完成下列问题: 按此规律,第n个图形的面积为:( )2-2(用含n的式子填空); 比较两个猜想,写出你发现的结论并验证.,1,2,3,4,5,6,7,8,证明:右边=2n2+8n+6, 左边=2(1+2+3+n)+(n+n-1+n-2+1)+2n+2(n+3) =2n(n+1)+2n+2(n+3)=2n2+8n+6, 左边=右边.,
