1、13 线段的垂直平分线第 1 课时 线段的垂直平分线教学目标一、基本目标1掌握线段的垂直平分线的性质定理及判定定理，能够利用这两个定理解决一些问题2经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识二、重难点目标【教学重点】掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理【教学难点】证明线段的垂直平分线的性质定理及判定定理教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P22P23 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上3如图所示，已知直线 MN 是
2、线段 AB 的垂直平分线，垂足为 D，点 P 是 MN 上一点，若AB10 cm，则 BD5 cm；若 PA10 cm，则 PB10 cm.环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】如图，在 ABC 中， AB AC20 cm， DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于点D，若 DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为( )2A5 cm B10 cm C15 cm D17.5 cm【互动探索】(引发学生思考)DBC 的周长等于哪些线段的和？利用线段的垂直平分线的性质可以将DBC 的周长转化为哪些线段的和(差)关系？【分析】由题意可知，DBC 的周长BCBD
3、CD35 cm.DE 垂直平分AB，ADBD，BCADCD35 cm.又ACADDC20 cm，BC352015( cm)【答案】C【互动总结】(学生总结，老师点评)利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长【例 2】 如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 为 CD 的中点，连结 AE、BE，BEAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.【互动探索】(引发学生思考)(1)要证 FCAD，结合已知和图形可以考虑证三角形全等得到结论；(2)要证 ABBCAD，观察这三条线段在图形中的位置关系，考虑运用转化思想将其进
4、行转化到一条边上【证明】(1)ADBC，ADCECF.E 是 CD 的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.又BEAE，BE 是线段 AF 的垂直平分线，ABBFBCCF.又ADCF，ABBCAD.【互动总结】(学生总结，老师点评)由线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可利用它证明线段相等活动 2 巩固练习(学生独学)1如图所示，在ABC 中，AD 垂直平分 BC，ACEC，点 B、D、C、E 在同一条直线上，则 ABDB 与 DE 之间的数量关系是( C )A AB DBDE BABDBDEC AB DB DE D无法判断第
5、 1题 第 2题2如图所示，等腰三角形 ABC 的底角为 72，腰 AB 的垂直平分线交另一腰 AC 于点3E，垂足为 D，连结 BE，则EBC 的度数为 36.3如图所示，在ABC 中，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D、E，已知ADE 的周长为 12 cm，求 BC 的长解：AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于点D、E，DADB，EAEC，BCBDDEECDADEAE，即为ADE 的周长又ADE 的周长为 12 cm，BC12 cm.活动 3 拓展延伸(学生对学)【例 3】如图所示，在ABC 中，AD 平分BAC，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F，试说明 AD 与 E
6、F 的关系【互动探索】先利用角平分线的性质得出 DEDF，再证 RtAED RtAFD，从而可证AD 垂直平分 EF.【解答】AD 垂直平分 EF.证明如下：AD 平分BAC，DEAB，DFAC，DEDF，AEDAFD90.在 RtADE 和 RtADF 中，Error! RtADE RtADF，AEAF，直线 AD 垂直平分线段 EF.【互动总结】(学生总结，老师点评)当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化环节 3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)线段的垂直平分线Error! 练习设计请完成本课时对应
7、练习！第 2 课时 三角形三边的垂直平分线及尺规作等腰三角形教学目标一、基本目标1理解并掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离4相等2能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线3已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三角形二、重难点目标【教学重点】作已知线段的垂直平分线【教学难点】垂直平分线的应用教学过程环节 1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P24P26 的内容，完成下面练习【3 min 反馈】1通过阅读理解教材 P24 例 2 得出：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等2如图所示，直线 CD 是线段 AB
8、的垂直平分线， P 为直线 CD 上的一点，已知线段PA5，则线段 PB 的长度为( B )A6 B5 C4 D33如图所示，等腰三角形 ABC 中，ABAC，A20，线段 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，连结 BE，则CBE 等于( C )A80 B70 C60 D50环节 2 合作探究，解决问题活动 1 小组讨论(师生互学)【例 1】某公园有海盗船、摩天轮、碰碰车三个娱乐项目，现要在公园内建一个售票中心，使得三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，请在图中确定售票中心的位置5【互动探索】(引发学生思考)售票中心的位置有什么特征？(三个娱乐项目到售票中心的距离相等
9、)怎样确定售票中心？(利用垂直平分线上的点到三边的距离相等解决问题)【解答】如图，连结 AB、AC，分别作线段 AB、AC 的垂直平分线，两垂直平分线相交于点 P，则 P 即为售票中心【互动总结】(学生总结，老师点评)此题考查了线段垂直平分线的性质，难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法【例 2】在ABC 中，点 O 为边 AB、AC 的垂直平分线的交点，请写出BOC 和A 的数量关系并说明理由【互动探索】(引发学生思考)三角形三边的垂直平分线有什么特征？(到三个顶点的距离相等)怎样求BOC 和A 的数量关系？(作辅助线，得到等腰三角形，从而得到角之间的关系)【解答】BOC2A.理由如下：连结
10、 OA.点 O 为边 AB、AC 的垂直平分线的交点，OAOBOC，OABOBA，OACOCA，OBAOCAA.又在ABC 中，OBCOCB180(OABOBAOACOCA)1802A，在OBC 中，BOC180(OBCOCB)180(1802A)2A，即BOC2A.【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了“线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等”和“等边对等角” ，以及三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键活动 2 巩固练习(学生独学)1如图所示的是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( B )6A ABC 的三条中线的交点
11、B ABC 三边的中垂线的交点C ABC 三条角平分线的交点D ABC 三条高所在直线的交点2如图，已知 ABC 内有一点 D，且 DA DB DC，若 DAB20， DAC30，则 BDC100.3如图所示，在 ABC 中， AB AC， AD 是 BC 边上的中线， AB 的垂直平分线交 AD 于点O.求证： OA OB OC.证明： AB AC， AD 是 BC 边上的中线， AD 垂直平分 BC. AB 的垂直平分线与 AD 交于点 O， OB OC OA(三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等)4如图所示，在 Rt ABC 中， C90， A30.(1)尺
12、规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在已作的图形中，若 l 分别交 AB、 AC 及 BC 的延长线于点 D、 E、 F，连结 BE.求证：EF2 DE.(1)解：如图所示，直线 l 即为所求 (2)证明：在 Rt ABC 中， l 为线段 AB 的垂直平分线， EA EB. A30， C90， ABC60， EBA A30， AED BED60， EBC30 EBA， BE 为 ABC 的平分线又 ED AB， EC BC， ED EC.在 Rt ECF 中， FEC AED60， EFC30， EF2 EC， EF2 ED.环节 3 课堂小结，当堂达标7(学生总结，老师点评)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等练习设计请完成本课时对应练习！
