1、专题10 系列4选讲,第2讲 不等式选讲,考情考向分析本部分主要考查绝对值不等式的解法求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式，绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想,考点一 绝对值不等式的解法 1(解绝对值不等式)(2018高考全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围可得f(x)0的解集为x|2x3,(2)f(x)1等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，
2、且当x2时等号成立 故f(x)1等价于|a2|4. 由|a2|4可得a6或a2. 所以a的取值范围是(，62，),1求解形如|xa|xb|c的不等式时，常用零点分段法，其步骤为：(1)求零点；(2)划分区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值后的不等式；(4)取每个结果的并集注意在分段时不要漏掉区间的端点值 2由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到与a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观,2(绝对值不等式恒成立、有解、无解问题)(1)设函数f(x)|x1|xa|.若a1，解不等式f(x
3、)3；如果xR，f(x)2，求实数a的取值范围解析：当a1时，f(x)|x1|x1|.由f(x)3，得|x1|x1|3.a当x1时，原不等式可化为1xx13，即2x3.b当1x1时，原不等式可化为1xx13，不可能成立,c当x1时，原不等式可化为x1x13， 即2x3.,f(x)|x1|xa|a1|， 所以f(x)min|a1|， 由题设得|a1|2，解得a1或a3. 故实数a的取值范围为(，13，),(2)设函数f(x)|2x3|x1|. 解不等式f(x)4；,解答不等式恒(能、恰)成立问题通常要借助函数思想或方程思想，利用函数图象、函数最值或判别式来解决求参数的问题解决不等式恒成立、能成立
4、、恰成立问题的理论依据是： (1)不等式恒成立问题 不等式f(x)A在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)minA. 不等式f(x)B在区间D上恒成立，等价于在区间D上f(x)maxB.,(2)不等式能成立问题 在区间D上存在实数x使不等式f(x)A成立，等价于在区间D上f(x)maxA. 在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)A的解集为D. 不等式f(x)B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)B的解集为D.,考点二 不等式的证明设a，b，c0，且abbcca1.求证：,因此只需证明(abc)23， 即证a2b2c22(abbcca)3. 而abbc
5、ca1， 故只需证明a2b2c22(abbcca)3(abbcca)，即证a2b2c2abbc ca.,用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法，但分析法和综合法不是孤立的，而是相互依存的综合法往往是分析法的逆过程，其表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤由此可见，分析法与综合法相互渗透，互为前提,1解含绝对值不等式问题时遗漏区间端点(2)若对任意a0,1，不等式f(x)b的解集为空集，求实数b的取值范围,解析 (1)当a1时，,(2)因为不等式f(x)b的解集为空集， 所以bf(x)max.,易错防
6、范 (1)利用零点分区间法求解形如|xa|xb|c(或c)的不等式时，需要先令每个绝对值符号内的代数式为零，求出相应的根，再进行分类讨论，不能遗漏端点的取值 (2)利用零点分区间法求与绝对值不等式有关的最值问题时，分类情况烦琐，容易出错，有效避错的途径是利用|a|b|ab|a|b|求解,2解含参的绝对值不等式问题时分类不全面 典例2 已知函数f(x)|ax1|(a1)x.(1)当a2时，求不等式f(x)0的解集；(2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围解析 (1)当a2时，|2x1|x0，,(2)令g(x)|ax1|，h(x)(a1)x， 因为函数f(x)的图象与x轴没有交点， 所以函数g(x)|ax1|与函数h(x)(a1)x的图象没有公共点 当a1时，画出函数g(x)|ax1|与函数h(x)(a1)x的图象，如图1所示 结合图象可得，两函数的图象恒有交点，不符合题意,结合图象可得，两函数图象恒有交点，不符合题意,当a0时，画出函数g(x)|ax1|与函数h(x)(a1)x的图象，如图4所示 结合图象可得，两函数的图象恒有交点，不符合题意易错防范 (1)本题的易错点是对参数分类不完全，在分类时，除了要考虑a与0的大小关系外，还需考虑a与1的大小关系； (2)对于判断两函数图象的公共点的个数问题，可在直角坐标系中作出两个函数的大致图象，利用数形结合的方法求解,
