1、1第四章 图形的相似1 成比例线段第 2 课时 比例的性质素材一 新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣置疑导入 如图 4115所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？图 4115说明与建议 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫复习导入 你还记得八年级上册中“变化的
2、鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？图 4116中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，1)，(3，0)，(4，2)，(0，0)的点 O，A，B，C，D，B，E，O 用线段依次连接而成的；图中的鱼是将图中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘 2 得到的图 4116(1)线段 CD 与 HL，OA 与 OF，BE 与 GM 的长度分别是多少？(2)线段 CD 与 HL 的比，OA 与 OF 的比，BE 与 GM 的比分别是多少？它们相等吗？(3)你还能找到其他比相等的线段吗？说明与建议 说明：利用前面
3、学习过的知识“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，并通过三个问题引出新课建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫2素材二 教材母题挖掘教材母题第 80 页例 2在ABC 与DEF 中，已知 ，且ABC 的周长为 18 cm，求DEF 的周ABDE BCEF CAFD 34长【模型建立】根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于 0.【变式变形】1已知 2(2a3bc0)，求 的值答案：2xa yb zc 2x 3y z2a 3b c2如图
4、4117，已知每个小方格的边长均为 1，求线段 AB，DE，BC，DC，AC，EC 的长，并计算ABC 与EDC 的周长比图 4117答案：AB2 ，DE ，BC2 ，DC ，AC2 ，EC ，ABC 与EDC5 5 10 10 13 13的周长比为 21素材三 考情考向分析命题角度 1 利用比例的性质求代数式的值比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法例 凉山中考 已知 ，则 的值是( D)ba 513 a ba bA. B. C. D.23 32 94 49命题角度 2 比例中的双解问题比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在
5、具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于 0 的前提条件例 若 k，求 k 的值答案： 或1ab c bc a ca b 12素材四 教材习题答案3P80 随堂练习已知 (b d0)，求 的值ab cd 23 a cb d解： .a cb d 23P81 习题 4.21已知 (b d f0)，求 的值ab cd ef 23 a c eb d f解： .a c eb d f 232如图，已知每个小方格的边长均为 1，求 AB， DE， BC， DC， AC， EC 的长，并计算ABC 与 EDC 的周长比解： AB2 ， DE
6、 ， BC2 ， DC ， AC2 ， EC ， l ABC l EDC21.5 5 10 10 13 133如果 ，那么 ， .你认为这个结论正确吗？为什么？ab cd a bb c dd a bb c dd解：正确理由： ， 1 1， 1 1，即 ， .ab cd ab cd ab cd a bb c dd a bb c dd素材五 图书增值练习专题 综合运用比例性质1. 若 ，且 2ab3c21，求 4a3bc 的值32a4b65c2如图，已知 BEA M C，求证： BCA ME4【知识要点】1成比例线段：在四条线段 a， b， c， d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的
7、比，我们就把这四条线段叫做成比例线段2比例的基本性质(1)如果 ，那么 ad bc，ab cd(2)如果 ，那么 b2 ac，ab bc(3)如果 ，那么 .ab cd abb cdd【温馨提示】四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错【方法技巧】1比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形2遇到比例式时，可设辅助未知数 k，即设这些比的比值为 k，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法3利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解参考答案：1解：设 k，则 a23k，b4k，c56k，2a4b65c即 a3k
8、2，b4k，c6k52ab3c21，2（3k2）4k3（6k5）21，k2a4，b8，c74a3bc4438712证明： BEA M C， EBA M，即 C ， ，即 BA E素材六 数学素养提升比例线段错解诊所在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明.一、对比的概念认识模糊5例 1 因为 ，所以 a4， b3，你认为这种说法正确吗？为什么？ab3错解 正确.因为 a4， b3，所以 ，反过来则有 ，即 a4， b3.4b3剖析 仅表示 a、 b 在同一长度单位下的比值，并不表示 a4， b3.正解 这种说法是错误的.因为 仅表示 a、 b 在
9、同一长度单位下的比值，它表示3a4 k， b3 k(k0)，所以这种说法是错误的.二、对线段比的单位认识不足例 2 有两条线段，它们的长度之比为 a b53，则 a5cm， b3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？错解 正确.因为 a5cm， b3cm，所以它们的长度之比为 a b53，即这种说法是正确的.剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.正解 这种说法是错误的.因为 a b53 仅表示 a、 b 的比值，它表示a5 k， b4 k(k0)，所以这种说法是错误的.三、忽视单位的统一例 3 A、 B 两地的实际距离 AB250m，画在纸上的距离 A B5cm，求纸上距离与实际距离的比
10、.错解 纸上距离与实际距离的比是 A B AB5250150.剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.正解 因为 AB250m25000 cm，所以纸上距离与实际距离的比是A B AB52500015000.四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等例 4 若 ，求 的值.yxmnxy错解 因为
11、 ，所以 解得 所以 .y,.xn,.xmnyxyn剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如 ，241分子上的 2 与 1、分母上的 4 与 2 都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.正解 设 k(k0)，所以 y( y x)k，即 xk yk y y(k1)，所以yxmn6 .xy1kmn五、忽视使用性质的条件例 5 若 k.求 k 的值.abccab错解 因为 k，所以由等比性质，得 k，即 k2abc.12剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于 0，而这里并没有说明 a+b+c0，所以应分情况讨论.正解 当 a+b+c0 时，由等比性质，得 k，即
12、 k ；当 a+b+c0 时，2abc12则有 a+b c，或 a+c b，或 b+c a，无论哪一种情况都有 k1，所以 k 的值为或1.12六、错误地运用设 k 法解题例 6 已知 x y z356，且 2x y+3z38，求 3x+y2 z 的值.错解 设 x y z356 k，则 x3 k， y5 k， z6 k，又 2x y+3z38，所以6k5 k+18k38，即 k2，所以 3x+y2 z9 k+5k12 k2 k4.剖析 本题不能用“设 x y z356 k”的方法求解，因为“356 k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.正解 因为 x y z356，
13、所以可设 k，则 x3 k， y5 k， z6 k，x5y6z又 2x y+3z38，所以 6k5 k+18k38，即 k2，所以 3x+y2 z9 k+5k12 k2 k4.七、忽视成线段成比例的顺序性例 7 已知线段 a3 cm， b5 cm， c7 cm.试求 a、 b、 c 的第四比例项 x.错解 因为 a、 b、 c 的第四比例项是 x，所以有 x a b c，即 x ，又 a3 bcm， b5 cm， c7 cm，所以 x .1剖析 要求 a、 b、 c 的第四比例项 x，就表示四条线段 a、 b、 c、 x 成比例，即有a b c x，所以 x ，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.正解 因为四条线段 a、 b、 c、 x 成比例，即有 a b c x，所以 x ，又 a3 cm， b5 cm， c7 cm，所以 x . 5737
