1、- 1 -衡阳市一中 2018 年下学期高二期末考试文科数学试题一选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.）1.已知复数 ，若 ，则复数 的共轭复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】复数 ，若 ，则 ，解得 .所以 .故选 B.2.对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计，得到样本的茎叶图（如图所示） 则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）A. 47,45,56 B. 46, 45, 53 C. 45, 47, 53 D. 46,45,56【答案】D【解析】【分析】利用中位数、众数、极差的
2、定义求解【详解】由样本的茎叶图得到：样本中的 30 个数据从小到大排列，位于中间的两个数据是 45，47，该样本的中位数为： ；出现次数最多的数据是 45，该样本的众数是 45；该数据中最小值为 12，最大值为 68，- 2 -该样本的极差为：681256故选： D【点睛】本题考查中位数、众数、极差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意基本定义的合理运用3.从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 2 名男生记为 A1,A2,2 名女生记为 B1,B2
3、,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有(A 1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2),(A2,A1),(B1,A1),(B2,A1),(B1,A2),(B2,A2),(B2,B1)12 种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有(A 1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2)4 种情况,则发生的概率为 P= ,故选：A .4.下列关于否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A. 有一个解B. 有两个解C. 至少有三个解D. 至少有两个解【答案】D【解析】试题分析：根据命题的否定命题的解答办法，我们结
4、合至多性问题的否定思路：至多 n 个的否定为至少 n+1 个，易根据已知原命题“至多有两个解”得到否定命题. 解：至多 n 个的否定为至少 n+1 个,“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”,故选 C考点：命题的否定点评：本题考查的知识是命题的否定，其中熟练掌握多性问题的否定思路：至多 n 个的否定为至少 n+1 个，是解答本题的关键.5.已知下列说法：命题“ x0R ，x 13x 0”的否定是“xR，x 213x” ； - 3 -已知 p， q 为两个命题，若“ p q”为假命题，则“ p q”为真命题“ a2”是“ a5”的充分不必要条件“若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为真命
5、题其中正确说法的个数为( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】利用命题的否定判断的正误；复合命题的真假判断的正误；充要条件判断的正误；四种命题的逆否关系判断的正误；【详解】对于命题“x 0R，x 13x 0”的否定应该是“xR，x 21 3x”，故错误；对于已知 p， q 为两个命题，若“ p q”为假命题，说明两个命题都是假命题，则“ p q”为真命题，正确；对于“ a2”是“ a5”的充分不必要条件，应该是必要不充分条件，所以原判断不正确；对于“若 xy0，则 x0 且 y0”的逆否命题为： x0 或 y0，则 xy0，显然是假命题，原判断不正确；真命题的个数
6、是 1 个故选： D【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及四种命题、充要条件、命题的否定的知识，考查计算能力6.执行如图所示的程序框图，当输入的 的值为 4 时，输出的 的值为 2，则空白判断框中的条件可能为（ ）.- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】方法一：当 x=4,输出 y=2,则由 y=log2x 输出，需要 x4，本题选择 B 选项.方法二：若空白判断框中的条件 x3，输入 x=4，满足 43，输出 y=4+2=6，不满足，故 A 错误，若空白判断框中的条件 x4,输入 x=4,满足 4=4,不满足 x3,输出 y=y=log24=2，故 B 正确；若空白判断框
7、中的条件 x4，输入 x=4，满足 4=4，满足 x4，输出 y=4+2=6，不满足，故 C错误，若空白判断框中的条件 x5，输入 x=4，满足 45，满足 x5，输出 y=4+2=6，不满足，故 D错误，本题选择 B 选项.7.如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，则表中 的值为（ ）x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.5- 5 -A. 3 B. 3.5 C. 4.5 D. 2.5【答案】A【解析】【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数
8、据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于 m 的方程，解方程即可【详解】根据所给的表格可以求出 4.5，这组数据的样本中心点在线性回归直线上， 0.74.5+0.35， m3，故选： A【点睛】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上8.函数 的图像大致是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】解：因为可见在 x0 时，01，f(x)递减，则可排除 C,D，然后看最大值 x=1 时，为-1/2，因此图像选 B9.若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析
9、】- 6 -试题分析： ，函数 在区间 单调递增， 在区间 上恒成立 ，而 在区间 上单调递减， 的取值范围是 故选：D考点：利用导数研究函数的单调性.【此处有视频，请去附件查看】10.已知双曲线 的一个焦点坐标为 ，则此双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得 3 ，解方程可得 m，可得双曲线的方程，再将其中的“1”换为“0” ，进而得到所求渐近线方程【详解】由题意可得 3 ，解得 m4，即有双曲线的方程为 1，可得渐近线方程为 y x故选： C【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题11.设 、 分别是椭圆 的左、右焦
10、点，点 在椭圆 上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A- 7 -【解析】试题分析：设 的中点为 ，连接 ，由于 为 的中点，则 为 的中位线，所以，所以 ，由于 ，所以 ，由勾股定理得，由椭圆定义得 ， ，所以椭圆的离心率为 ，故选 A.考点：椭圆的定义与离心率12.已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数 的取值范围即可.【详解】不等式 即 ，结合 可得 恒成立，即 恒成立，构造函数 ，由题意可知函数 在定义域内单调递增，- 8
11、-故 恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；则 的最小值为 ，据此可得实数 的取值范围为 .本题选择 D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.）13.设复数 的模为 3，则 _【答案】9【解析】分析：由复数得模得 ，根据乘法运算得 ，进而得解.详解：由复数 的模为 3，可知 .又 .故答案为：9.点睛：本题主要考查了复数模的概念及复数的乘法运算，属于基础题.14.七巧板是我们祖先
12、的一项创造，被誉为“东方魔板” ，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、一块正方形和一块平行四边形组成的如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是_- 9 -【答案】【解析】【分析】求出阴影部分的面积，根据几何概型的定义求出满足条件的概率即可【详解】设正方形的面积是 1，结合图象，阴影部分是和大三角形的面积相等，从而阴影部分占正方形的 ，故满足条件的概率 p ，故答案为： 【点睛】本题考查了几何概型问题，考查数形结合思想，是一道基础题15.将正整数有规律地排列如下：12 3 45 6 7 8 910 11 12
13、 13 14 15 16 则在此表中第 45 行第 83 列出现的数字是_【答案】2019【解析】【分析】根据图象可知第 n 行有 2n1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5+（2 n1） n2个，可得前 44 行共 442个，进而求得结果【详解】依题意可知第 n 行有 2n1 个数字，前 n 行的数字个数为 1+3+5+（2 n1） n2个，可得前 44 行共 442个，44 21936，即第 44 行最后一个数为 1936，第 45 行第 83 列出现的数字是1936+83=2019，故答案为 2019.【点睛】本题主要考查了等差数列的前 n 项和公式解题的关键是求得前 n 行的数
14、字个数，- 10 -属于中档题.16.设 O 为坐标原点，动点 M 在圆 C： 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 ，则点 P 的轨迹方程为_ ；【答案】【解析】【分析】设 M（ x0， y0） ，由题意可得 N（ x0，0） ，设 P（ x， y） ，运用向量的坐标运算，结合 M 满足椭圆方程，化简整理可得 P 的轨迹方程；【详解】设 M（ x0， y0） ，由题意可得 N（ x0， 0） ，设 P（ x， y） ，由点 P 满足 ,可知 P 为 MN 的中点，可得 x x0， y y0，即有 x0 x， y02 y，代入圆 C： x2+y24，可得 即 ，故答案为 【点
15、睛】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标转移法，考查转化思想以及计算能力三解答题（本大题共 6 小题，17 小题 10 分，其它各小题每题 12 分，共 70 分.）17.已知命题 p： k28 k200，命题 q：方程 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线（1）命题 q 为真命题，求实数 k 的取值范围；（2）若命题“ p q”为真，命题“ p q”为假，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）命题 q 为真命题，由已知得 ，可求实数 k 的取值范围；（2）根据题意得命题 p、 q 有且仅有一个为真命题，分别讨论“ p 真 q 假”与“ p 假 q 真”即可得出实数
16、a 的取值范围- 11 -【详解】 （1）当命题 q 为真时，由已知得 ，解得 1 k4当命题 q 为真命题时，实数 k 的取值范围是 1 k4.（2）当命题 p 为真时，由 k28 k200 解得2 k10，由题意得命题 p、 q 中有一真命题、有一假命题 ，当命题 p 为真、命题 q 为假时，则 ，解得2 k1 或 4 k10 当命题 p 为假、命题 q 为真时，则 ， k 无解 实数 的取值范围为 .【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用18.设抛物线 C: 的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 轴的距离等于 .（1）求抛物线 C 的方程；（2）已
17、知经过抛物线 C 的焦点 F 的直线 与抛物线交于 A，B 两点，证明： 为定值【答案】 （1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得 p 值；（2）分斜率存在与不存在两种情况，设过 F 的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（ x1， y1） ， B（ x2， y2）根据韦达定理可求得 x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF| x1+1，| BF| x2+1 代入 可得其值【详解】 （1）由题意可得，抛物线上点 到焦点 的距离等于点 到直线 的距离，由抛- 12 -物线的定义得 ，即 .故抛物线 的方程为 ；（2）易知焦点 的坐标为 ，
18、若直线 的斜率不存在，即直线 方程为： ，此时 ，若直线 的斜率存在，设直线 方程为： ，设 ，由抛物线的定义可知： ，由 得： ，由韦达定理得： ，所以：，综上可得： 为定值.【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线方程的求法对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，属于中档题19.已知函数 ，（1）求函数 在点 M 处的切线方程；（2）若 试求函数 的最值。- 13 -【答案】 （1） （2） .【解析】【分析】（1）求得 ，将 x=0 代入 和 ，求得斜率及 M 坐标，即可得切线方程；（2）利用 分析得到函数 的单调性，再比较 与 ，从而得到最值.【详解】 （1） ，所
19、以 ，故： ，又 ，所以函数 在点 处的切线方程为： ；（2）因为 ，由 得： ，当 时， ；当 时， ；函数 在 单调递增，在 单调递减；又 ，故 时， .【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，综合考查了学生的计算能力，属于有难度的题目- 14 -20.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 个利润为 元，未售出的每个亏损 元.根据以往 天的统计资料，得到如下需求量表，元旦这天，此蛋糕店制作了 个这种蛋糕.以（单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：元）表示这天售出该蛋糕的利润.需求量/个天数 10 20 30 25 1
20、5（1）将 表示为 的函数，根据上表，求利润 不少于 元的概率；（2）估计这 天的平均需求量（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（3）元旦这天，该店通过微信展示打分的方式随机抽取了 名市民进行问卷调查，调查结果如下表所示，已知在购买意愿强的市民中，女性的占比为 .购买意愿强 购买意愿弱 合计女性 28男性 22合计 28 22 50完善上表，并根据上表，判断是否有 的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关？附： .0.05 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.879- 15 -【答案】 （1）0.7；（2）126.5；（3）见解析【解析】试题分析：（1
21、）分两种情况讨论，根据销售收入减去成本可以将 表示为 的函数，根据所求解析式，列不等式求出利润 不少于 元的 的范围，找出表格中对应天数，利用古典概型概率公式可得利润 不少于 570 元的概率；（2）这 100 天的平均需求量为；（3）先列出列联表，根据公式，故有 的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.试题解析：（1）当 时， ，当 时， ，所以当 时， ， ，又 ，所以 ，因此，利润 不少于 570 元的概率为 .（2）这 100 天的平均需求量为 .（3）根据题意，购买意愿强市民中女性的人数为 ，男性为 8 人，填表如下：购买意愿强 购买意愿弱 合计女性 20 8 28男性 8 14
22、22合计 28 22 50根据公式， ，故有 的把握认为市民是否购买这种蛋糕与性别有关.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、古典概型概率公式以及独立性检验的应用，属于中档题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式- 16 -计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）21.已知椭圆 的离心率是 ，且过点 ，直线 与椭圆 相交于 两点.（1）求椭圆 的方程；（2）求 的面积的最大值；【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率公式求得 a22 b2
23、，将 P 代入椭圆方程，即可求得 a 和 b 的值，即可求得椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可【详解】 （1）设椭圆 的半焦距为 ，因为椭圆 的离心率是 ，所以 ，即 ，由 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；（2）将 代入 ，消去 整理得 ，令 ，解得 .设 ，则 ，- 17 -所以 ，点 到直线 的距离为 .所以 的面积 ，当且仅当 时， ，所以 的面积的最大值是 .【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力22.设 (1) 求函数 的
24、单调区间；(2) 若 证明：（3）若函数 有两个零点 ，且 ，求实数 的取值范围；【答案】 （1）当 时，函数 的单调递增区间是 ；当 时，函数 的递减区间是 ，单调递增区间是 ；（2）见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，分类解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分析出函数 在 单调递减，在 单调递增，得到 即可；- 18 -（3）由题意知 有两个根，构造 分析 ，得到 ，解出 a 的范围即可【详解】 （1）首先，函数定义域为 ，因 ，则当 时， ，函数 在 上单调递增；当 ，且 时， ，函数 的 上单调递减； 时， ，函数在 上单调递增，故当 时，函数 的单调递增区间是 ；当 时，函数的递减区间是 ，单调递增区间是 ；（2）若 ，则 ，当 时， 时， ，所以：函数 在 单调递减，在 单调递增，故： ；（3）由题设 有两个零点，显然 ，故 ，记 ，当 时， 单调增；当 时， 单调减.所以当 ，即 时，函数有两个零点 ，所求实数 的取值范围是 .【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题- 19 -
