1、1河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三2019 年 2 月 14 日 1、选择题1对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )A a ， b B a ， b C a ， b D a ， b 2如图所示，点 S 在平面 ABC 外， SB AC， SB AC2， E、 F 分别是 SC 和 AB 的中点，则EF 的长是( )A1 B C. D222 123.如图所示， ABCDA1B1C1D1是长方体， O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M，则下列结论正确的是( )A A， M， O 三点共线 B A， M， O， A1不共面C A， M， C，
2、O 不共面 D B， B1， O， M 共面4已知直线 l平面 ，直线 m平面 ，有以下四个命题： l m； l m； l m ； l m .其中正确的两个命题是( )A B C D5.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为 12,底面对角线的长为 2 ,则侧面与底面所成的二面角为( )A 30 B 45 C 60 D906已知互相垂直的平面 、 交于直线 l.若直线 m、 n 满足 m ， n ，则( )A m l B m n C n l D m n7如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线AC 与 MN 所成的
3、角为( )A30 B45 (C)60 (D)908已知 A， B， C， D 是空间不共面的四个点，且 AB CD， AD BC，则直线 BD 与 AC( )A垂直 B平行 C相交 D位置关系不确定二、填空题9.如图,点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动,则下列四个命题:三棱锥 A D1PC 的体积不变;A 1P平面 ACD1;DPBC 1;平面 PDB1平面 ACD1.其中正确的命题的序号是 . 10已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径若平面 SCA平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱锥 S ABC 的体积
4、为 9，则球 O 的表面积为_.三、解答题11.如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,ABAD,ABCD,CD=AD=2AB=2AP.(1)求证:平面 PCD平面 PAD;(2)在侧棱 PC 上是否存在点 E,使得 BE平面 PAD,若存在,确定点 E 位置;若不存在,说明理由.212如图所示， ABCD 是正方形， O 是正方形的中心， PO底面 ABCD，底面边长为 a， E 是 PC 的中点(1)求证： PA面 BDE；(2)求证：面 PAC面 BDE；(3)若二面角 E BD C 为 30，求四棱锥 P ABCD 的体积13如图，矩形 ABC
5、D 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， M 是 上异于CD CD C， D 的点.(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由河北安平中学高一年级数学学科寒假作业十三答案1.解析：已知两条不相交的空间直线 a 和 b，可以在直线 a 上任取一点 A，使得 Ab.过 A作直线 c b，则过 a， c 必存在平面 且使得 a ， b .答案：B2.解析：取 SA 的中点 H，连接 EH、 FH(图略)因为 SB AC，则 EH FH，在 EFH 中，应用勾股定理得 EF .答案：B23.解析：连接 A1C1， AC，则 A1C1 AC，
6、所以 A， C， C1， A1四点共面，所以 A1C面ACC1A1.因为 M A1C，所以 M面 ACC1A1，又 M面 AB1D1，所以 M 在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上，同理 O 在面 ACC1A1与面AB1D1的交线上，所以 A， M， O 三点共线，故选 A.4.解析：若 ， l ，则 l ，又 m ，所以 l m，故正确；若3 ， l ， m ，则 l 与 m 可能异面，所以不正确；若 l m， l ，则 m ，又 m ，则 ，所以正确；若 l ， l m， m ，则 与 可能相交，故不正确综上可知，选 D.5.解析:如图,在正四棱锥 S ABCD 中,SO底面 A
7、BCD,E 是 BC 边中点,则SEO 即为侧面与底面所成的二面角的平面角.由题易得 SO=3,OE= ,tanSEO= ,所以SEO=60,故选 C.6.解析 选项 A，只有当 m 或 m 时， m l；选项 B，只有当 m 时，m n；选项 C，由于 l ， n l；选项 D，只有当 m 或 m 时， m n，故选C7.解析 如图，连接 A1C1、 BC1、 A1B M、 N 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点 MN BC1又 A1C1 AC A1C1B 为异面直线 AC 与 MN 所成的角 A1BC1为正三角形 A1C1B60.故选 C8.解析 过点 A 作 AO平面 BCD，垂足为 O
8、，连结 BO AB CD，由三垂线定理可得 BO CD 同理 DO BC， O 为 ABC 的垂心所以CO BD， BD AO， CO AO O， BD平面 ADC，所以 BD AC 故选 A9 解析:如图,对于,容易证明 AD1BC 1,从而 BC1平面 AD1C,故 BC1上任意一点到平面 AD1C 的距离均相等,所以以 P 为顶点,平面 AD1C 为底面的三棱锥的体积不变,即三棱锥 A D1PC 的体积不变,正确;对于,连接 A1B,A1C1,容易证明 A1C1AC, 由知,AD1BC 1,所以平面 BA1C1平面 ACD1,从而由线面平行的定义可得,正确;对于由于 DC平面 BCC1B
9、1,所以 DCBC 1,若 DPBC 1,则 BC1平面 DCP,BC1PC,则 P 为中点,与 P 为动点矛盾,错误;对于,连接 DB1,由 DB1AC 且 DB1AD 1,可得 DB1平面 ACD1,从而由面面垂直的判定知正确.答案:10解析 如图，连接 OA， OB由 SA AC， SB BC， SC 为球 O 的直径，知 OA SC， OB SC由平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCB SC， OA SC，知 OA平面 SCB设球 O 的半径为 r，则 OA OB r， SC2 r三棱锥 S ABC 的体积 V ( SCOB)OA13 12 r33即 9， r3， S 球表
10、 4 r236r3311(1)证明:因为 PA平面 ABCD,所以 PACD. 又因为 ABAD,ABCD,所以 CDAD. 由可得 CD平面 PAD.又 CD平面 PCD,所以平面 PCD平面 PAD.(2)解:当点 E 是 PC 的中点时,BE平面 PAD.证明如下:设 PD 的中点为 F,连接 EF,AF,易得 EF 是PCD 的中位线,所以EFCD,EF= CD.由题设可得 ABCD,AB= CD,所以 EFAB,EF=AB,所以四边形 ABEF 为平行四边形,所以 BEAF.又 BE平面 PAD,AF平面 PAD,所以 BE平面 PAD.12 解 (1)证明：连接 OE，如图所示 O
11、， E 分别为 AC， PC 的中点， OE PA. OE面 BDE， PA面 BDE， PA面 BDE.4(2)证明： PO面 ABCD， PO BD.在正方形 ABCD 中， BD AC，又 PO AC O， BD面 PAC.又 BD面 BDE，面PAC面 BDE.(3)如图所示，取 OC 中点 F，连接 EF. E 为 PC 中点， EF 为 POC 的中位线， EF PO.又 PO面 ABCD， EF面 ABCD， EF BD. OF BD， OF EF F， BD面 EFO， OE BD. EOF 为二面角 E BD C 的平面角， EOF30.在 Rt OEF 中， OF OC A
12、C a， EF OFtan30 a， OP2 EF a.12 14 24 612 66 VP ABCD a2 a a3.13 66 61813解析 (1)由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD因为 BC CD， BC平面 ABCD，所以 BC平面 CMD，故 BC DM因为 M 为 上异于 C， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM CMCD 又 BC CM C，所以 DM平面 BMC而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC(2)当 P 为 AM 的中点时， MC平面 PBD证明如下：连结 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连结 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MC OPMC平面 PBD， OP平面 PBD，所以 MC平面 PBD5
