1、- 1 -20182019 扬州中学高三上学期 12月月考数学一.填空题：1.函数 的最小正周期是_.【答案】【解析】函数 的周期为 ，函数 的最小正周期 .2.设 为虚数单位） ，则复数 的模为 【答案】5【解析】 ， .3.若角 的终边经过点 ,则 值为_【答案】【解析】【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出 值【详解】由题意可得 x 2， y3，tan a ，故答案为：【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题4.已知集合 则 _【答案】【解析】【分析】求出集合 B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可- 2 -【详解】 x| x ，又则 A B1，1，故答案为：
2、1，1【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利用集合交集的定义是解决本题的关键5.双曲线 的两条渐近线的方程为 _【答案】 【解析】双曲线 的 ， ，焦点在 轴上，渐近线方程为 6.若函数 是奇函数，则 为_【答案】【解析】【分析】根据奇函数定义可得 f（ x） f（ x） ，化简可求【详解】若函数 是奇函数，则 f（ x）1即解得： m2，故答案为：2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，属于中档题7.已知 ，则 的值等于_- 3 -【答案】【解析】【分析】先根据 ， 的范围，求出 cos（+）和 sin 的值，再利用 + 的关系，利用正弦两角差公式得出答案【详解】由
3、0 ， ，得 + cos（+）0，sin0cos（+）sin sinsin（+）sin（+）coscos（+）sin（ ） （ ）（ ） 故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数的两角差公式及同角基本关系式，关键是能熟练掌握公式，并灵活运用8.如图，在三棱柱 中， ， ， 分别为 ， ， 的中点，设三棱锥体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 【答案】【解析】试题分析：因为 D，E，分别是 AB，AC 的中点，所以 SADE：SABC=1：4，又 F是 AA1的中点，所以 A1到底面的距离 H为 F到底面距离 h的 2倍- 4 -即三棱柱 A1B1C1-ABC的高是三棱锥 F-ADE高的 2倍所以
4、V1：V 2= SADEh/SABCH =1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积9.抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 （包含三角形内部和边界）.若点 是区域 内任意一点，则 的取值范围是 【答案】【解析】 ， ， ，而当 时 ，即切点为 ，切线方程为 ，即 ，切线与两坐标轴围成的三角形区域为 如图，令 ，由图知，当斜率为的直线经过 ， 取得最大值，即 ；当斜率为 的直线经过 ，取得最大值，即 . 故 的取值范围是 .【考点定位】.导数的集合意义，不等式表示的平面区域，线性规划求目标函数的取值范围. 中等题.10.设 、 分别是 的边 ， 上的点， ， . 若 （为实数） ，则 的
5、值是 【答案】【解析】- 5 -依题意， ， ， ， ，故 .【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.11.若函数 在定义域 内某区间 H上是增函数，且 在 H上是减函数，则称 的在 H上是“弱增函数” 已知函数 的 上是“弱增函数” ，则实数 的值为_【答案】【解析】【分析】根据二次函数与对勾函数的单调区间列出不等式组得出结论【详解】由题意可知 g（ x） x2+（4 m） x+m在（0，2上是增函数， 0，即 m4令 h（ x） x 4 m，则 h（ x）在（0，2上是减函数，（1）当 m0 时， h（ x）在（0，2上为增函数，不符合题意；（2）当 m0 时，由对勾
6、函数性质可知 h（ x）在（0， 上单调递减， 2，即 m4又 m4，故 m4故答案为：4【点睛】本题考查了函数单调性判断，单调区间的求法，属于中档题12.已知实数 ,满足 ，则 的最小值为_【答案】【解析】- 6 -【分析】根据题意， ，则 ， ，据此有 3a+2b 5（ a+b）+（ a b） 6 ， ，构建新函数，利用导数求最值【详解】根据题意， 1，又 ，则 ，则 3a+2b 5（ a+b）+（ a b） 6 ；记，,故 在 上单调递增，即 最小值为 63 a+2b 6 的最小值为 6故答案为：6【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值问题，解题关键整体换元合理构建新函数，属于中档题.1
7、3.如图，已知椭圆 ，点 A， B1， B2， F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB2与直线 B1F的交点 M恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为_- 7 -【答案】【解析】试题分析：直线 ，直线 ，其交点横坐标为 ，所以考点：椭圆性质14.已知函数 记 ，若 ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由题意，条件可转化为函数 ，在 上存在零点，转化为函数 与的图象有交点的横坐标在 上，利用数形结合法求解即可.【详解】由题意，条件可转化为函数 ，在 上存在零点，所以方程 有根，所以函数 与 的图象有交点的横坐标在上，所以函数 的图象为顶点 在直线 上移动的折线， 如图所
8、示，可得 ，即 ，所以实数 的取值范围是 .【点睛】本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中- 8 -把条件可转化为函数 在 上存在零点，进而函数 与 的图象有交点的横坐标在 上是解答的关键，着重考查了转化思想方法，以及推理论证能力.二.解答题：15.已知 ， .（1）若 ，求 的值；（2）设 ，若 ，求 ， 的值.【答案】 （1） ；（2） ， .【解析】【分析】（1）由 ，结合条件可得结果；（2）根据向量坐标运算公式和三角函数性质即可得出 ， 的值【详解】 （1）由题意可知 ，且（2） ， ，由此得，由 ，得 ，又 ，故 ，代入 得 ，而 ， ， .【点睛】本题考查了平面向量的数量积运
9、算，三角函数的恒等变换，属于中档题16.如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，过 的平面分别与交于点 （1）求证： 平面 ；（2）求证： - 9 -【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】分析：（1）由 平面 可得 ，结合 可证 平面 .（2）先由 证明 平面 ，从而得到 ，故 .详解：（1）证明:在四棱锥 中， 平面 ， 平面 ， ， ， ， 平面 .（2） ，过 的平面分别与 交于点 ，故平面 平面又 平面 ， 平面 ， 平面 ，而 平面 ， 点睛： （1）线面垂直的判定可由线线垂直得到，注意线线是相交的，也可由面面垂直得到，注意线在面内且线垂直于两个平面的交线.（2）线线平行
10、的判定可以由线面平行得到，注意其中一条线是过另一条线的平面与已知平面的交线，也可以由面面平行得到，注意两条线是第三个平面与已知的两个平行平面的交线.17.如图，某生态园将一三角形地块 ABC的一角 APQ开辟为水果园种植桃树，已知角 A为的长度均大于 200米，现在边界 AP，AQ 处建围墙，在 PQ处围竹篱笆.（1）若围墙 AP,AQ总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ的面积最大？（2）已知 AP段围墙高 1米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100元.若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？【答案】 （1）当 米时，三角形地块 APQ的面积最大为 平
11、方米；（2）当 米 米时，可使竹篱笆用料最省【解析】试题分析：（1）易得 的面积 当- 10 -且仅当 时，取“ ”即当 米；（2）由题意得 ，要使竹篱笆用料最省，只需其长度 最短，又 ，当 时, 有最小值 ,从而求得正解试题解析：设 米， 米（1）则 的面积 当且仅当 ,即 时，取“ ”即当 米, 米时, 可使三角形地块 的面积最大（2）由题意得 ，即 ，要使竹篱笆用料最省，只需其长度 最短，所以，当 时, 有最小值 ,此时 当 米, 米时, 可使篱笆最省考点：1、解三角形；2、重要不等式18.已知椭圆 ： （ ）和圆 ： ， 分别是椭圆的左、右两焦点，过 且倾斜角为 （ ）的动直线 交椭圆
12、 于 两点，交圆 于 两点（如图所示，点 在 轴上方）.当 时，弦 的长为 .（1）求圆 与椭圆 的方程；- 11 -（2）若 依次成等差数列，求直线 的方程.【答案】 （1）椭圆 的方程为： ， ： ；（2）直线 的方程为：.【解析】试题分析：（1）求圆与椭圆的方程，其实只要求 的值，而 本身满足 ，只要再建立一个关于 的等式即可求出 的值，这可从直线被圆截得的弦长为 考虑，运用垂径定理建立关于 等式；（2）求直线 的方程，因为直线 已经经过 ，只要再求一点或斜率，即可得到方程，因为 成等差数列，结合椭圆的定义，可求得 的长，从而可求得 的坐标，最终可求得直线 的方程.试题解析：（1）取 的
13、中点 ，连 ，由 ， ，知 ， ，即 ，从而 ，椭圆 的方程为： ， ： .（2）设 ， ，又 的长成等差数列， ，设 ，由 解得 ， ， ： .考点：直线与圆、直线与椭圆.19.已知函数 （1）若曲线 在 处的切线过点 求实数 的值； 设函数 ，当 时，试比较 与 的大小；（2）若函数 有两个极值点 ， （ ） ，求证： 【答案】(1) ;见解析;(2)见解析.- 12 -【解析】分析：（1）求出函数的导数，得到切点，表示出切线方程，代入切点的坐标即可求解；由 ，设 ，利用导数得到函数的单调性和最值，即可得到结论（2）设 通过讨论 的范围，得到函数的单调性，根据 得到 ，进而得到 ，设 ，得
14、到 单调减函数，即可作出证明详解：（1）因为 ，所以 ，由曲线 在 处的切点为 ，所以在 处的切线方程为 因为切线过点 ，所以 ，由 设 （ ） ，所以 ，所以 在 为减函数因为 ，所以当 时，有 ，则 ；当 时，有 ，则 ；当 时，有 ，则 （2）由题意， 有两个不等实根 ， （ ） 设 ，则 （ ） ，当 时， ，所以 在 上是增函数，不符合题意；当 时，由 ，得 ，列表如下：0 极大值 - 13 -由题意， ，解得 ，所以 ，因为 ，所以 因为 ，所以 ，所以 （ ） 令 （ ） ，因为 ，所以 在 上为减函数，所以 ，即 ，所以，命题得证 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查
15、了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.20.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ；数列 的前 项和为 ，且满足 ， （1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的通项公式；（3）是否存在正整数 ，使得 恰为数列 中的一项？若存在，求满足要求的那几项；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2）
16、 ；（3）满足要求的 为 .【解析】- 14 -【分析】（1）由当 n2 时， Sn1 2 an1 2， an Sn Sn1 ，即可求得 an2 an1 ，则数列 an是以 2为首项，2 为公比的等比数列；（2）由 采用“累乘法”即可求得当 n2 时， bn+1 bn1 2，数列 bn的奇数项，偶数项分别成等差数列， b3 T2 b1+b23， b1+b32 b2，数列 bn是以 b11 为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列 an、 bn的通项公式；（3）设 cn ，作差比较大小，c n cn+11，根据数列的单调性，即可求得存在 n2，使得 b7 c2， b3 c3【详解】 （1）由 S
17、n2 an2，则当 n2 时， Sn1 2 an1 2，两式相减得： an2 an2 an1 ，则 an2 an1 ，由 S12 a12，则 a12，数列 an是以 2为首项，2 为公比的等比数列，则 an2 n，（2）由 则 ， ， ， 以上各式相乘， ，则 2Tn bnbn+1，当 n2 时，2 Tn1 bn1 bn，两式相减得：2 bn bn（ bn+1 bn1 ） ，即 bn+1 bn1 2，数列 bn的奇数项，偶数项分别成等差数列，由 ，则 b3 T2 b1+b23， b1+b32 b2，数列 bn是以 b11 为首项，1 为公差的等差数列，数列 bn的通项公式 bn n；（3）当
18、n1 时， 无意义，设 cn ， （ n2， nN*） ，- 15 -则 cn+1c n 0，即 cn cn+11，显然 2n+n+12 n（ n+1） ，则 c27 c33 c41，存在 n2，使得 b7 c2， b3 c3，下面证明不存在 c22，否则，c n 2，即 2n3（ n+1） ，此时右边为 3的倍数，而 2n不可能是 3的倍数，故该不等式成立，综上，满足要求的 bn为 b3， b7【点睛】本题考查数列的综合应用，考查等比数列及等差数列的通项公式及证明，考查数列单调性的判断，考查转化思想，属于难题数学(附加题)21.已知矩阵 ，其中 ，若点 在矩阵 的变换下得到的点 （1）求实数
19、 的值；（2）求矩阵 的逆矩阵.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）根据点 P在矩阵 A的变化下得到的点 ，写出题目的关系式，列出关于 a， b的等式，解方程即可（2）计算 即可得到矩阵 的逆矩阵.【详解】解：（1）因为 ， 所以 所以 （2） ， - 16 -【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，属于基础题.22.在极坐标系中，直线 l的极坐标方程为 +10。以极点 O为坐标原点，极轴正方向为 轴正方向建立平面直角坐标系 ，曲线 C的参数方程为 （ 为参数，） ，若直线 l与曲线 C交于 A，B 两点，且 AB ，求 的值。【答案】1【解析】【分析】运用同角的平方关系和 ，参数方程
20、和极坐标方程为普通方程，再由直线和圆相交的弦长公式，计算即可得到 r【详解】由 ，得 ，即直线 l的方程为 由 ，得曲线 的普通方程为 ，故曲线 C是圆心坐标为 ，半径为 的圆 ， 所以，圆心到直线 的距离 ，由 ，则 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，主要考查直线和圆相交的弦长公式的运用，熟练掌握公式是解题关键23.已知曲线(1)求曲线 在点 处的切线方程；（ 2）过点 作直线 与曲线 交于 两点，求线段的中点 的轨迹方程。【答案】(1) ；(2)【解析】【分析】（1） y0 时， y ，求导数，可得切线的斜率，从而可求曲线 C在点 处的切线方程；（2）设 l： y kx
21、代入 y22 x4，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求出线段 AB的- 17 -中点 M的轨迹方程【详解】 （1） y0 时， y ， y ， x4 时， y ，曲线 C在点 A（4，2）处的切线方程为 y （ x4） ，即 ；（2）设 l： y kx， M（ x， y） ，则y kx代入 y22 x4，可得 k2x22 x+40，416 k20，设 A（ x1， y1） 、 B（ x2， y2） ，则 x1+x2 ， y1+y2 x ， y ， y2 x（ x4） 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键2
22、4.设(1 x)n a0 a1x a2x2 anxn， nN *， n2（1）设 n11，求| a6| a7| a8| a9| a10| a11|的值；（2）设 ， Sm b0 b1 b2 bm(mN， m n1)，求 |的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由二项式定理可得 ak（1） k ，再由二项式系数的性质，可得所求和为 210；（2）由组合数的阶乘公式可得 bk（1） k+1 ，再由组合数的性质，可得当 1 k n1- 18 -时， bk（1） k+1 （1） k+1（ ）（1） k1 （1） k ，讨论 m0 和 1 m n1 时，计算化简即可得到所求值【详解】
23、（1）由二项式定理可得 ak（1） k ，当 n11 时，| a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|（ ）2 101024；（2） bk ak+1（1） k+1 （1） k+1 ，当 1 k n1 时， bk（1） k+1 （1） k+1（ ）（1） k+1 （1） k+1 （1） k1 （1） k ，当 m0 时，| | |1；当 1 m n1 时， Sm b0+b1+b2+bm1 （1） k1 （1） k 1+1（1） m （1） m ，即有| |1综上可得，| |1【点睛】本题考查二项式定理和性质的运用，考查组合数公式和性质的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题- 19 -
