1、1课时作业 24 平面向量的概念及其线性运算基础达标一、选择题1若 m n， n k，则向量 m 与向量 k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线解析：可举特例，当 n0 时，满足 m n， n k，故 A，B，C 选项都不正确，故 D 正确答案：D22019通州模拟已知在 ABC 中， D 是 BC 的中点，那么下列各式中正确的是( )A. B. AB AC BC AB 12BC DA C. D2 AD DC AC CD BA CA 解析：本题考查向量的线性运算A 错，应为 2 ；B 错，应为 AB AC AD 12BC DA BD ；C 错，应为 ；D 正确，2 ，故选 D.DA
2、 BA AC AD DC CD BA CB BA CA 答案：D3如图， e1， e2为互相垂直的单位向量，向量 a b 可表示为( )A3 e2 e1B2 e14 e2C e13 e2D3 e1 e2解析：向量 a b 是以 b 的终点为始点， a 的终点为终点的向量由图形知，a b e13 e2.答案：C42019石家庄高中质量检测在 ABC 中，点 D 在边 AB 上，且 ，设BD 12DA a， b，则 ( )CB CA CD A. a b B. a b13 23 23 13C. a b D. a b35 45 45 35解析： ， ， ( )BD 12DA BD 13BA CD CB
3、 BD CB 13BA CB 13CA CB a b，故选 B.23CB 13CA 23 13答案：B25如图，已知四边形 ABCD 是梯形， E， F 分别是腰的中点， M、 N 是线段 EF 上的两个点，且 EM MN NF，下底是上底的 2 倍，若 a， b，则 ( )AB BC DN A a b B. a b12 12 14 12C. a b D. a b12 12 14 12解析： ( ) aEF 12AB DC 34AB 34 b，CF 12BC 12 DN DC CF FN 12AB CF a b a13EF 12 12 13 34 a b.14 12答案：D二、填空题6给出下列
4、命题：若 a b， b c，则 a c；若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；AB DC a b 的充要条件是| a| b|且 a b；若 a b， b c，则 a c.其中正确命题的序号是_解析：正确 a b， a， b 的长度相等且方向相同，又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c.正确 ，| | |且 ，AB DC AB DC AB DC 又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 且| | |，因此， .AB D
5、C AB DC AB DC 不正确当 a b 且方向相反时，即使| a| b|，也不能得到 a b，故| a| b|且a b 不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑 b0 这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.答案：7若点 O 是 ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，则 ABC 的OB OC OB OC OA 形状为_解析： 2 ( )( ) ， ，所以OB OC OA OB OA OC OA AB AC OB OC CB AB AC 3| | |.故 A， B， C 为矩形的三个顶点， ABC 为直角三角形AB AC AB AC 答案：直角三角形8设 D， E
6、分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD AB， BE BC.若12 23 1 2 ( 1， 2为实数)，则 1 2的值为_DE AB AC 解析： ( ) ，所以 1 ， 2DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23BA AC 16AB 23AC 16，即 1 2 .23 12答案：12三、解答题9在 ABC 中， D， E 分别是 BC， AC 边上的中点， G 为 BE 上一点，且 GB2 GE，设 a， b，试用 a， b 表示 ， .AB AC AD AG 解析： ( ) a b.AD 12AB AC 12 12 ( )AG AB BG AB 23BE AB 13
7、BA BC ( )23AB 13AC AB 13AB 13AC a b.13 1310设 e1， e2是两个不共线向量，已知 2 e18 e2， e13 e2， 2 e1 e2.AB CB CD (1)求证： A， B， D 三点共线；(2)若 3 e1 ke2，且 B， D， F 三点共线，求 k 的值BF 解析：(1)证明：由已知得 BD CD CB (2 e1 e2)( e13 e2) e14 e2， 2 e18 e2， 2 ，AB AB BD 又有公共点 B， A， B， D 三点共线(2)由(1)可知 e14 e2，且 3 e1 ke2，BD BF 由 B， D， F 三点共线得 ，
8、BF BD 即 3e1 ke2 e14 e2，得Error! ，解得 k12， k12.能力挑战11设 D， E， F 分别是 ABC 的三边 BC， CA， AB 上的点，且42 ， 2 ， 2 ，则 与 ( )DC BD CE EA AF FB AD BE CF BC A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：由题意得 ，AD AB BD AB 13BC ，BE BA AE BA 13AC ，CF CB BF CB 13BA 因此 ( )AD BE CF CB 13BC AC AB ，CB 23BC 13BC 故 与 反向平行AD BE CF BC 答案：A122019清华
9、大学自主招生能力测试 O 为 ABC 内一点，且 2 0，则OA OB OC OBC 和 ABC 的面积比 _.S OBCS ABC解析：如图所示，设 AB 的中点为 M，连接 OM，则 2 ， 2 2 2 0，即 0，点 O 为线段 MC 的中点，则OA OB OM OA OB OC OM OC OM OC S OBC S MBC S ABC，所以 .12 14 S OBCS ABC 14答案：14132019河北百校联盟联考已知在 ABC 中，点 D 满足 2 0，过点 D 的直BD CD 线 l 与直线 AB， AC 分别交于点 M， N， ， .若 0， 0，则 的AM AB AN A
10、C 最小值为_解析：连接 AD.因为 2 0，所以 ， ( BD CD BD 13BC AD AB BD AB 13BC AB 13AC ) .因为 D、 M、 N 三点共线，所以存在 x R，使 x (1 x) ，则AB 23AB 13AC AD AM AN x (1 x) ，所以 x (1 x) ，根据平面向量基本定理，AD AB AC AB AC 23AB 13AC 得 x ，(1 x) ，所以 x ，1 x ，所以 1，所以23 13 23 13 23 13 ( ) ，当且仅当 时等号成立，13 (2 1 ) 13(3 2 ) 3 223 2 的最小值为 .3 223答案：3 2235
