1、1第 2讲 综合大题部分1已知等差数列 an满足 a11， a47，记 cn bn an，数列 cn的前 n项和为 Tn，且Tn2 cn2.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)求数列 bn的前 n项和 Sn.解析：(1)由数列 an是等差数列，且 a11， a47，得公差 d 2， an a1( n1) d2 n1.a4 a13当 n1 时， c12 c12，解得 c12，当 n2 时， cn Tn Tn1 2 cn2(2 cn1 2)2 cn2 cn1 ， cn2 cn1 ，数列 cn是以 c12 为首项，2 为公比的等比数列， cn22 n1 2 n， bn2 n12 n.(2)由
2、(1)知， bn2 n12 n， Sn(132 n1)(22 22 n) n 1 2n 12 2 1 2n1 2 n22 n1 2.2(2018高考浙江卷)已知等比数列 an的公比 q1，且 a3 a4 a528， a42 是 a3， a5的等差中项数列 bn满足 b11，数列( bn1 bn)an的前 n项和为 2n2 n.(1)求 q的值；(2)求数列 bn的通项公式解析：(1)由 a42 是 a3， a5的等差中项，得 a3 a52 a44，所以 a3 a4 a53 a4428，解得 a48.由 a3 a520，得 8(q )20，1q解得 q2 或 q ，12因为 q1，所以 q2.(
3、2)设 cn( bn1 bn)an，数列 cn的前 n项和为 Sn.由 cnError! 解得 cn4 n1.由(1)可得 an2 n1 ，所以 bn1 bn(4 n1)( )n1 ，122故 bn bn1 (4 n5)( )n2 ， n2，12bn b1( bn bn1 )( bn1 bn2 )( b3 b2)( b2 b1)(4 n5)( )12n2 (4 n9)( )n3 7 3.12 12设 Tn37 11( )2(4 n5)( )n2 ， n2，12 12 12则 Tn3 7( )2(4 n9)( )n2 (4 n5)( )n1 ，12 12 12 12 12所以 Tn34 4( )
4、24( )n2 (4 n5)( )n1 ，12 12 12 12 12因此 Tn14(4 n3)( )n2 ， n2.12又 b11，所以 bn15(4 n3)( )n2 .123已知函数 f(x) ，设数列 an满足 an1 f(an)，且 a1 .x2x 1 12(1)求数列 an的通项公式；(2)若记 bi f(2 i1) an)(i1,2,3， n)，求数列 bi的前 n项和 Tn.解析：(1)由 an1 f(an)得 an1 ，an2an 1所以 2 ，1an 1 2an 1an 1an所以 是首项为 2，公差为 2的等差数列1an所以 2( n1)22 n，1an所以 an .12
5、n(2)法一：由(1)知 bi f( )(i1,2,3， n)，则2i 12nbi 2i 12n2 2i 12n 1 2i 12 2i 1 2n ，12 2i 1n 2i 13bn i1 2 n i 1 12n2 2 n i 1 12n 1 2 n i 1 12 2 n i 1 1 2n ，12 2 n i 1 12 n i 1 1 n 12 2n 2i 1n 2i 1bi bn i1 1( i1,2,3， n)，12 2i 1n 2i 1 12 2n 2i 1n 2i 1Tn b1 b2 b3 bn，Tn bn bn1 bn2 b1，两式相加得 2Tn( b1 bn)( b2 bn1 )(
6、b3 bn2 )( bn b1) (bi bn i1 )n i 1 n，所以 Tn .n2法二：由(1)知 bi f( )(i1,2,3， n)，2i 12n则 Tn b1 b2 b3 bn f( ) f( ) f( )，12n 32n 2n 12n又 f(x) ，所以 f(x) f(1 x)1.x2x 1则 2Tn f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( )12n 2n 12n 32n 2n 32n 2n 12n 12n n，所以 Tn .n24(2018宜昌调研)已知数列 an满足 a11， an (nN *， n2)，数列 bn满an 14an 1 1足关系式 bn (nN *)1an(1)求证：数列 bn为等差数列；(2)求数列 an的通项公式解析：(1)证明： bn ，且 an ， bn1 ，1an an 14an 1 1 1an 1 1an4an 1 4an 1an bn1 bn 4.4an 1an 1an又 b1 1，1a14数列 bn是以 1为首项，4 为公差的等差数列(2)由(1)知数列 bn的通项公式为 bn1( n1)44 n3，又 bn ，1an an .1bn 14n 3数列 an的通项公式为 an .14n 3
