1、1第 1讲 空间点、线、面间的位置关系A组 小题提速练一、选择题1已知 E， F， G， H是空间四点，命题甲： E， F， G， H四点不共面，命题乙：直线 EF和GH不相交，则甲是乙成立的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：若 E， F， G， H四点不共面，则直线 EF和 GH肯定不相交，但直线 EF和 GH不相交，E， F， G， H四点可以共面，例如 EF GH，故甲是乙成立的充分不必要条件答案：B2已知 m， n是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，给出四个命题：若 m， n ， n m，则 ；若 m ， m ，则 ；若 m ， n
2、， m n，则 ；若 m ， n ， m n，则 .其中正确的命题是( )A BC D解析：两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故不正确答案：B3如图，在三棱锥 PABC中，不能证明 AP BC的条件是( )A AP PB， AP PCB AP PB， BC PBC平面 BPC平面 APC， BC PCD AP平面 PBC2解析：A 中，因为 AP PB， AP PC， PB PC P，所以
3、AP平面 PBC.又 BC平面 PBC，所以 AP BC，故 A正确；C 中，因为平面 BPC平面 APC， BC PC，所以 BC平面 APC.又AP平面 APC，所以 AP BC，故 C正确；D 中，由 A知 D正确；B 中条件不能判断出AP BC，故选 B.答案：B4已知 ， 表示两个不同平面， a， b表示两条不同直线，对于下列两个命题：若 b ， a ，则“ a b”是“ a ”的充分不必要条件；若 a ， b ，则“ ”是“ a 且 b ”的充要条件判断正确的是( )A都是真命题B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题D都是假命题解析：若 b ， a ， a b，则由线面平行的判定
4、定理可得 a ，反过来，若b ， a ， a ，则 a， b可能平行或异面，则 b ， a ， “a b”是“ a ”的充分不必要条件，是真命题；若 a ， b ， ，则由面面平行的性质可得a ， b ，反过来，若 a ， b ， a ， b ，则 ， 可能平行或相交，则a ， b ，则“ ”是“ a ， b ”的充分不必要条件，是假命题，选项 B正确答案：B5如图是一几何体的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形， E， F分别为 PA， PD的中点，在此几何体中，给出下面 4个结论：直线 BE与直线 CF异面；直线 BE与直线 AF异面；直线 EF平面 PBC；平面 BCE平面 PAD.
5、其中正确的有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：将展开图还原为几何体(如图)，因为 E， F分别为 PA， PD的中点，所以3EF AD BC，即直线 BE与 CF共面，错；因为 B平面 PAD， E平面 PAD， EAF，所以BE与 AF是异面直线，正确；因为 EF AD BC， EF平面 PBC， BC平面 PBC，所以 EF平面 PBC，正确；平面 PAD与平面 BCE不一定垂直，错故选 B.答案：B6在下列四个正方体中，能得出异面直线 AB CD的是( )解析：对于 A，作出过 AB的平面 ABE，如图，可得直线 CD与平面 ABE垂直，根据线面垂直的性质知， AB CD成
6、立，故 A正确；对于 B，作出过 AB的等边三角形 ABE，如图，将CD平移至 AE，可得 CD与 AB所成的角等于 60，故 B不成立；对于 C、D，将 CD平移至经过点 B的侧棱处，可得 AB， CD所成的角都是锐角，故 C和 D均不成立故选 A.答案：A7(2018贵阳一中适应性考试)已知 l为平面 内的一条直线， ， 表示两个不同的平面，则“ ”是“ l ”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 l为平面 内的一条直线且 l ，则 ，反过来则不一定成立，所以“ ”是“ l ”的必要不充分条件，故选 B.答案：B8(2018广州模拟)用 a， b
7、， c表示空间中三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：若 a b， b c，则 a c；若 a b， a c，则 b c；若 a ， b ，则 a b；若 a ， b ，则 a b.其中真命题的序号是( )A BC D4解析：对于，正方体从同一顶点引出的三条直线 a， b， c，满足 a b， b c，但是a c，所以错误；对于，若 a b， a c，则 b c，满足平行线公理，所以正确；对于，平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或者异面，所以错误；对于，由垂直于同一平面的两条直线平行，知正确故选 D.答案：D9.(2018菏泽模拟)如图所示的三棱柱 ABCA1B1C1中，过
8、 A1B1的平面与平面 ABC交于 DE，则 DE与 AB的位置关系是( )A异面B平行C相交D以上均有可能解析：在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB A1B1， AB平面 ABC， A1B1平面 ABC， A1B1平面 ABC，过 A1B1的平面与平面 ABC交于 DE， DE A1B1， DE AB.故选 B.答案：B10(2018贵阳模拟)如图，在正方形 ABCD中， E， F分别是 BC， CD的中点，沿AE， AF， EF把正方形折成一个四面体，使 B， C， D三点重合，重合后的点记为 P， P点在 AEF内的射影为 O，则下列说法正确的是( )A O是 AEF的垂心B O是 A
9、EF的内心C O是 AEF的外心D O是 AEF的重心解析：由题意可知 PA、 PE、 PF两两垂直，5所以 PA平面 PEF，从而 PA EF，而 PO平面 AEF，则 PO EF，因为 PO PA P，所以 EF平面 PAO， EF AO，同理可知 AE FO， AF EO， O为 AEF的垂心故选 A.答案：A11已知 a， b为异面直线，下列结论不正确的是( )A必存在平面 使得 a ， b B必存在平面 使得 a， b与 所成角相等C必存在平面 使得 a ， b D必存在平面 使得 a， b与 的距离相等答案：C12对于四面体 ABCD，有以下命题：若 AB AC AD，则 AB，
10、AC， AD与底面所成的角相等；若 AB CD， AC BD，则点 A在底面 BCD内的射影是 BCD的内心；四面体 ABCD的四个面中最多有四个直角三角形；若四面体 ABCD的 6条棱长都为 1，则它的内切球的表面积为 .6其中正确的命题是( )A BC D答案：D二、填空题13正方体 ABCDA1B1C1D1中， E为线段 B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号) AC BE； B1E平面 ABCD；三棱锥 EABC的体积为定值；直线 B1E直线 BC1.答案：614下列四个正方体图形中，点 A， B为正方体的两个顶点，点 M， N， P分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面
11、 MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)答案：15.如图， PA O所在的平面， AB是 O的直径， C是 O上的一点，E， F分别是点 A在 PB， PC上的射影，给出下列结论： AF PB； EF PB； AF BC； AE平面 PBC.其中正确命题的序号是_解析： PA O所在的平面， AB是 O的直径， CB PA， CB AC，又 PA AC A， CB平面 PAC.又 AF平面 PAC， CB AF.又 F是点 A在 PC上的射影， AF PC，又 PC BC C， PC， BC平面 PBC， AF平面 PBC，故正确又 E为 A在 PB上的射影， AE PB， PB
12、平面 AEF，故正确而 AF平面 PCB， AE不可能垂直于平面 PBC.故错答案：16.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，底面是以 ABC为直角的等腰直角三角形， AC2 a， BB13 a，点 D是 A1C1的中点，点 F在线段 AA1上，当 AF_时， CF平面 B1DF.答案： a或 2aB组 大题规范练71(2018河北唐山统考)已知四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是矩形， PD底面 ABCD， E为棱 PD的中点(1)证明： PB平面 AEC；(2)若 PD AD2， PB AC，求点 P到平面 AEC的距离解析：(1)证明：如图，连接 BD，交
13、AC于点 F，连接 EF，底面 ABCD为矩形， F为 BD中点，又 E为 PD中点， EF PB，又 PB平面 AEC， EF平面 AEC， PB平面 AEC.(2) PD平面 ABCD，AC平面 ABCD， PD AC，又 PB AC， PB PD P， AC平面 PBD， BD平面 PBD， AC BD，四边形 ABCD为正方形又 E为 PD的中点， P到平面 AEC的距离等于 D到平面 AEC的距离，设 D到平面 AEC的距离为 h，由题意可知 AE EC ， AC2 ， S AEC 2 ，由 VD AEC VE ADC得 S5 212 2 3 6 13AECh S ADCED，解得
14、h ，点 P到平面 AEC的距离为 .13 63 632如图，四边形 ABCD为菱形， G为 AC与 BD的交点， BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；8(2)若 ABC120， AE EC，三棱锥 E ACD的体积为 ，求该三棱锥的侧面积63解析：(1)证明：因为四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD.因为 BE平面 ABCD，所以 AC BE.故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 AB x，在菱形 ABCD中，由 ABC120，可得 AG GC x， GB GD .32 x2因为 AE EC，所以在 Rt AEC中，可得
15、 EG x.32由 BE平面 ABCD，知 EBG为直角三角形，可得 BE x.22由已知得，三棱锥 E ACD的体积 V 三棱锥 E ACD ACGDBE x3 ，13 12 624 63故 x2.从而可得 AE EC ED .6所以 EAC的面积为 3， EAD的面积与 ECD的面积均为 .5故三棱锥 E ACD的侧面积为 32 .53如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， D， E分别为 AB， BC的中点，点 F在侧棱 B1B上，且B1D A1F， A1C1 A1B1.求证：(1)直线 DE平面 A1C1F；(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明：(1)在直三棱柱 ABC A1
16、B1C1中， A1C1 AC.在 ABC中，因为 D， E分别为 AB， BC的中点，所以 DE AC，于是 DE A1C1.又 DE平面 A1C1F， A1C1平面 A1C1F，所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，9A1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1，所以 A1A A1C1.又 A1C1 A1B1， A1A平面 ABB1A1， A1B1平面 ABB1A1， A1A A1B1 A1，所以 A1C1平面ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1，所以 A1C1 B1D.又 B1D A1F， A1C1平面 A1C1F， A1F平面 A
17、1C1F， A1C1 A1F A1，所以 B1D平面 A1C1F.因为直线 B1D平面 B1DE，所以平面 B1DE平面 A1C1F.4如图，在四棱锥 P ABCD中， PC平面 ABCD， AB DC， DC AC.(1)求证： DC平面 PAC；(2)求证：平面 PAB平面 PAC；(3)设点 E为 AB的中点，在棱 PB上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由解析：(1)证明：因为 PC平面 ABCD，所以 PC DC.又因为 DC AC，且 PC AC C，所以 DC平面 PAC.(2)证明：因为 AB DC， DC AC，所以 AB AC.因为 PC平面 ABCD，所以 PC AB.所以 AB平面 PAC.又 AB平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAC.(3)棱 PB上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：10如图，取 PB中点 F，连接 EF， CE， CF.又因为 E为 AB的中点，所以 EF PA.又因为 PA平面 CEF， EF平面 CEF，所以 PA平面 CEF.
