1、1专题 5.6 向心力【本节知识清单】一、向心力1.向心力是物体做匀速圆周运动受到的 的合力，是根据效果命名的力，方向总是与速度 ，不改变速度的大小，只改变速度的 。2.向心力不是指物体受到的某一个力，而物体所受到的、能起到只改变物体速度方向的外力，它可以由某一个力提供 ，也可以由某几个力的 提供，还可以由某一个力的 提供。是物体在沿半径方向所受到的合力。3.向力的大小可用向心加速度、线速度、角速度、周期、频率与半径来表达，具体形式依次可以写为 F= = = = = = ，使用时可依据已知量与未知量选用合适的形式。二、匀速圆周运动1.做匀速圆周运动的物体，在 通过的弧长都相等，在 物体与圆心连
2、线转过的圆心都相等，线速度大小不变、角速度恒定。2.物体做匀速圆周运动的条件是：合力大小 ，且满足 ；方向 。3.匀速圆周运动中，向心力 （填“是”或“不是” ）合外力。三、变速圆周运动与一般的曲线运动1.变速圆周运动中，不仅线速度的 均在变化，而且加速度的 也均在变化，而加速度的方向 （填“还是”或“不再” ）指向圆心。2.变速圆周运动的合力一般不指向圆心，可产生两个效果：沿半径方向上的合力改变物体速度的方向而产生 加速度，沿切线方向上的合力改变物体速度的大小产生 加速度。故利用公式计算圆周上某点向心力或向心加速度时，必须用该位置的瞬时速度值。3.一般的曲线运动中，可以把这条曲线分割为许多很
3、短的小段，质点在每小段的运动可以看成是 的一部分，就可以利用学过的知识进行分析处理了。【答案】一、1.指向圆心；垂直；方向 2.合力；分力 3.ma； rv2； 2； 24Tmr； 2fr；mv二、1.任意相等时间内；任意相等时间内 2.不变； 向合 F；始终与速度垂直且指向圆心 3.是 三、1.大小与方向；大小与方向；不再 2.向心；切向 3.圆周运动【问题与练习变式】21.（问题与练习 1 变式）劲度系数为 k=100N/m 的一根轻质弹簧,原长为 l=10cm,一端栓一质量为 0 6kg 的小球,以弹簧的另一端为圆心,使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,其角速度为 10rad/s,那么小
4、球运动时受到的向心力大小为( )A15N B10N C6N D以上答案都不对【答案】A 2.（问题与练习 2 变式）一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A 和 B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示， A 的运动半径较大，则( )A A 球的角速度必小于 B 球的角速度B A 球的线速度必大于 B 球的线速度C A 球的运动周期必大于 B 球的运动周期D A 球对筒壁的压力必大于 B 球对筒壁的压力【答案】ABC 【解析】两球都是只受到重力、筒壁的支持力作用而在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，设筒壁母线与竖直方向夹角为 ，由 sinmgN可知压力
5、相同，D 错误。再由 可得、 、 ，A、B、C 皆正确。33.（问题与练习 3 变式）如图所示，水平转盘上放有质量为 m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为 r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的 倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小3 g2r【答案】(1) (2) mg gr 124.（问题与练习 4 变式）如图，光滑的水平面上有两枚铁钉 A 和 B，A、B 相距 0.1m，长 1m 的柔软细绳栓在 A 上，另一端系一质量为 0.5kg 的小球，小球的初始位置在 AB 连线上 A 的一侧，把细绳拉
6、紧，给小球以 2m/s 的垂直细绳方向的水平速度，使小球作圆周运动，由于钉子 B 的存在，使得细绳慢慢地缠在 A、B上。若绳能承受的最大拉力为 4.1N.整个过程小球速度大小不变.求：（1）刚开始运动时小球受到的拉力大小？（2）小球刚开始做匀速圆周运动周期大小？（3）从小球开始运动到细绳断所用的时间？（保留 3 位有效数值）【答案】 （1）2N（2） ）（ s（3） )(49s4（3）小球每转半周做圆周运动的半径减小 0.1m，所需向心力突然增大一次，当绳上拉力增大到 Fm=4.1N时设小球做圆周运动的半径为 r0，由 rvmF2得故小球可转过六个半周，所经历的时间为(s)5.（问题与练习 5
7、 变式）如图所示，在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动， O 点为圆心能正确表示雪橇受到的牵引力 F 及摩擦力 Ff的图是( )【答案】C 【解析】由于雪橇在冰面上滑动，其滑动摩擦力方向必与其相对地面的运动方向相反，即沿圆的切线方向；因雪橇在水平面内做匀速圆周运动，而水平方向上雪橇只受到牵引力 F 与摩擦力 Ff 的作用，向心力由二者的合力提供 ，故二者合力方向一定指向圆心由此可知 C 正确 【本节考点题组】【题组一】向心力的概念与来源分析1.下面说法中正确的是（ ）A物体在恒力作用下不可能做曲线运动B物体在恒力作用下有可能做圆周运动C物体所受的力始终不与速度垂直，则一定不做圆周运动D物体在
8、变力作用下有可能做曲线运动5【答案】D 【解析】物体做直线运动还是曲线运动取决于物体的速度方向和加速度的方向是否在同一直线上面与力是否恒定无关，故 AB 错误 D 正确；力与速度垂直，物体可做匀速圆周运动，不垂直时，也可能做圆周运动，只不过是变速圆周运动，故 C 错误。2.关于向心力的说法中正确的是A.向心力是除重力、弹力以及摩擦力以外的一种新力B.向心力不改变物体运动的速度大小C.做匀速圆周运动的物体其所受向心力是不变的D.做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力【答案】B 3.如图所示，物块 P 置于水平转盘上随转盘一起运动，图中 c 沿半径指向圆心， a 与 c 垂直，下列说法正确的是
9、( )A当转盘匀速转动时， P 受摩擦力方向可能为 a 方向B当转盘加速转动时， P 受摩擦力方向可能为 b 方向C当转盘加速转动时， P 受摩擦力方向可能为 c 方向D当转盘减速转动时， P 受摩擦力方向可能为 d 方向【答案】BD 【解析】物块随圆盘转动时，轨迹平面在水平面内，而物体在水平方向上只受到一个摩擦力的作用，摩擦力变是物体所受合力。当圆盘匀速转动时，向心力就是合力。故此时摩擦力方向一定沿 c 方向，A 错误。当圆盘加速转动时，合力即摩擦力除了一个分力提供转动所需向心力外，另一个分力提供使物块加速所需的切向作用力，此分力方向与与速度同向即沿 a 方向，故此时摩擦力的方向可能是沿 b
10、 方向的，B 正确 C错误。同理当圆盘减速转动时，摩擦力的方向可能沿 d 方向，D 正确。64.如图所示的圆锥摆中，关于小球受力及运动状态，下列说法正确的是A.小球始终在水平面内运动，处于平衡状态B.小球受到重力、绳的拉力、向心力共三个力的作用C.小球运动所需向心力是由重力秘绳的拉力两个力的合力提供的D.小球所需向心力是由绳的拉力在水平方向上的分力提供的【答案】CD 5.如图所示，在竖直平面内有一粗糙的半圆形槽，一个小球从槽上的 A 由静止释放，在运动到最低点 B 的过程中，下列说法错误的是A.小球受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用B.小球经过 AB 的中点 C 点时所需向心力由重力、弹力、
11、摩擦力的合力提供C.小球经过 AB 的中点 C 点时所需向心力由重力沿半径方向上的分力与支持力的合力提供D.小球到达 B 点时所需向心力是由重力、支持力两个力提供【答案】B 【解析】分析小球受力，易知 A 正确。小球在竖直平面内做变速圆周运动，向心力只是合力的一个分力，合力的另一分力提供产生切向加速度所需外力，B 错误。也可以认为，向心力就是物休在半径方向上所受外力的合力。在 C 点，摩擦力与半径垂直，与向心力无关，沿半径方向上有支持力与重力沿半径方向上的7分力，而在 B 点，重力方向沿半径所在直线，摩擦力仍与半径垂直，故 CD 皆正确。6.如图所示，一圆筒绕中心轴 OO 以角速度 匀速转动，
12、小物块紧贴在竖直圆筒的内壁上，相对于圆筒静止。下列说法错误的是A小物块所需向心力是由筒壁的支持力提供的B小物块所需向心力是由重力、筒壁的支持力与摩擦力共同提供的C当圆筒转动的角速度变小时，筒壁对物块的摩擦力不变D当圆筒转动的角速度变大时，筒壁对物块的摩擦力不变【答案】C 【题组二】涉及向心力的计算1.质量不计的轻质弹性杆 P 插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为 m 的小球，今使小球在水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，且角速度为 ，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )A m 2R B m g2 4R2C m D不能确定g2 4R2【答案】C 【解析】对小球进行受力分析
13、，小球受两个力：一个是重力 mg，另一个是杆对小球的作用力 F，两个力的合力充当向心力由平行四边形定则可得： F m ，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作g2 4R2用力的大小为 F m .故选项 C 正确 g2 4R282.如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为 m 的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并沿水平方向做半径为 r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度大 小合适，螺丝帽恰好不下滑假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为 ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力则在该同学手转动塑料管使丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )A螺丝帽受的重力与最大静摩擦力
14、平衡B螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心C此时手转动塑料管的角速度 mg rD若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动【答案】A 3.如图所示，将完全相同的两小球 A、 B 用长 L0.8 m 的细绳悬于以速度 v4 m/s 向右匀速运动的小车顶部，两球与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，则此时悬线的拉力之比 FA：F B ( g 取 10 m/s2)【答案】3：1【解析】小车突然停止，球 B 也随之停止，故 FB mg，而球 A 开始从最低点摆动，则 FA mg m ，解得v2L，故 FA FB31。4.如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 转
15、动，盘面上离转轴距离 2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为 (设最大静摩擦力等于滑动摩擦32力)，盘面与水平面的夹角为 30， g 取 10 m/s2。则 的最大值是( )9A. rad/s B. rad/s C1.0 rad/s D0.5 rad/s 5 3【答案】C 5.用一根细线一端系一可视为质点的小球，另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为 ，线的张力为 T，则 T 随 2变化的图象是图（2）中的: ( )【答案】C 【解析】小球角速度 较小，未离开锥面对，设细线的张力为 FT，线的长度为 L，锥面对小球
16、的支持力为FN，则有 FTcos FNsin mg， FTsin FNcos m 2Lsin ，可得出： FT mgcos m 2Lsin2 ，可见随 由 0 开始增加， FT由 mgcos 开始随 2的增大，线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，FTsin m 2Lsin ，得 FT m 2L，可见 FT随 2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有 C 正确6.如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径 R=90m 的大圆弧和 r=40m 的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心 O、O 距离 L=100m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重
17、力的 2.25 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短（发动机功率足够大，重力加速度 g=10m/s2,=3.14） 。A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为 45 m/s题图10C在直道上的加速度大小为 5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为 5.85 s【答案】AB 【题组三】动态圆周运动1.两粗细相同内壁光滑的半圆形圆管 ab 和 bc 连接在一起，且在 b 处相切，固定于水平面上。一小球从 a端以某一初速度赶往圆管，并从 c 端离开圆管。则小球由圆管 ab 进入管 bc 后A.线速度减小B.角速度减小C.向心加速度
18、减小D.小球对管壁的压力增大【答案】C 【解析】小球由 ab 进入 bc 时由能量守恒可知小球线速度不变，轨道半径突然增大，由 rv可角速度减小，由 rva2知向心加速度减小，由 maFN知小球对管壁的压力减小，故只有 C 正确。2.如图，在角锥体表面上放一个物体，角锥绕竖直轴转动。当角锥体旋转角速度增大时，物体仍和角锥体保持相对静止，则角锥对物体的A支持力将减小11B支持力将增大C静摩擦力将不变D静摩擦力将增大【答案】AD 3.如图所示，一圆筒绕中心轴 OO 以角速度 匀速转动，小物块紧贴在竖直圆筒的内壁上，相对于圆筒静止。此时，小物块受圆筒壁的弹力大小为 F，摩擦力大小为 f。当圆筒以角速
19、度 2 匀速转动时（小物块相对于圆筒静止），小物块受圆筒壁的A摩擦力大小仍为 fB摩擦力大小变为 2fC弹力大小变为 2FD弹力大小变为 4F【答案】AD【解析】对小物体研究，做匀速圆周运动，受重力、支持力和向上的静摩擦力，根据牛顿第二定律，水平方向：N=m 2r；竖直方向：f=mg。当加速度 加倍后，支持力变为 4 倍，静摩擦力不变，正确。4.如图，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b（可视为质点）放在水平圆盘上，a 与转轴 OO的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转到，用 表示圆盘
20、转到的角速度，下列说法正确的是12A.b 一定比 a 先开始滑动 Ba、b 所受的摩擦力始终相等C lkg2是 b 开始滑动的临界角速度 D当 l3时，a 所受摩擦力的大小为 kmg【答案】AC 5.如图所示，小物块位于半径为 R 的半球形物体顶端，若给小物块一水平速度 gRvo2，则物块 （ ）A物块沿球面下滑到某一位置离开球面做斜下抛运动 B落地时水平位移为 R2C落地速度大小为 2 g D落地时速度方向与地面成 45角【答案】CD 6.如图所示，V 形细杆 AOB 能绕其对称轴 OO转动，OO沿竖直方向，V 形杆的两臂与转轴间的夹角均为图13=45两质量均为 m=0.1kg 的小环，分别
21、套在 V 形杆的两臂上，并用长为=1.2m、能承受最大拉力Fmax=4.5N 的轻质细线连结，环与臂间的最大静摩擦力等于两者间弹力的 0.2 倍当杆以角速度 转动时，细线始终处于水平状态，取 g=10m/s2（1）求杆转动角速度 的最小值；（2）将杆的角速度从（1）问中求得的最小值开始缓慢增大，直到细线断裂，写出此过程中细线拉力随角速度变化的函数关系式；【答案】 （1）3.33rad/s（2）【解析】角速度较小时环有下滑趋势，静摩擦力沿杆向上，角速度最小时静摩擦力达到最大值。角速度增大、摩擦力减小到零后反向增大，再增大到最大静摩擦力时绳中开始产生张力，此后张力随角速度增大而增大到断裂值（1）因角速度最小时， fmax沿杆向上，分析其中一环受力如图甲所示，则在竖直方向上由平衡方程有：在水平方向上由牛顿第二定律有：且 ， 2lr，解得 1=10/33.33rad/s3 图14当细线拉力刚达到最大时，则在竖直方向上由平衡方程有：在水平方向上由牛顿第二定律有：，解得 3=10rad/s故拉力随角速度变化的关系式为
