1、1.4 数学归纳法,归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理,温故知新,但是利用归纳推理得出的结论不一定正确,a2=a1+1da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d,回顾以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式是怎样得出的？,a1=a1+0d,an=a1+(n-1)d (nN*),温故知新,探究新知,请思考：满足哪些条件才能使骨牌全部倒下？,必须同时满足两个条件：1.第一张骨牌倒下；2.假设第k张骨牌倒下，保证第k+1张骨牌一定倒下,数学归纳法的原理及证明步骤,验证当n=n0（n0为n允许取值的第一个值）时命题成立;在假设当n=k(kN*,kn0)时命题成立的前提下,证明当
2、n=k+1时命题也成立；根据,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立。,探究新知,证明：,(2)第步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：,想一想,(1)假设当n=k(kN*)时,等式 成立，并且证明了当 n=k+1时等式也成立,能否由此得出对一切nN*等式都成立？,为什么？,第二步的证明没有用上n=k的假设!,用数学归纳法需注意 ：,1.三个步骤缺一不可:第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设 (注意是”假设”，而不是确认命题成立);第三步是总体结论，也不可少。2.第二步的证明中必须用
3、到归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3.注意第一步中n=n0时的形式。4.数学归纳法适用于和正整数n有关的命题。,解：由已知，得猜想：以下用数学归纳法证明猜想：,例2.已知数列 满足 ， ， 试猜想 的通项公式并用数学归纳法证明,(2).假设n=k时，等式成立，即 那么，当n=k+1时n=k+1时，原等式成立 由（1），（2）知当nN*时，等式都成立,第二步的证明要用上归纳假设!,证明：(1).当n=1时, 左边= ，右边= 等式成立,猜想：,C,课堂练习,2用数学归纳法证明过程中，由 递推到 时,不等式左边增加的项为 （ ） A. B. C. D.,课堂练习,C,课堂练习,3.用数学归纳法证明，首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式为：an=a1+(n-1)d（nN *）.,证明: 当n=1时，左边= a1 ，右边=a1+(1-1)d=a1，等式成立；,则当n=k+1时：ak+1=,=,a1+(k-1)d,+d,=a1+(k+1)-1d,所以当n=k+1时等式也成立；,ak+d,第二步的证明要用上归纳假设!,本节课你的收获,1. 与正整数n有关的命题可以用数学归纳法证明. 2. 数学归纳法的基本原理. 3. 数学归纳法的步骤重点：两个重要步骤、一个结论注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.4. 生活中处处都有数学.,
