1、专题8 解析几何,第2讲 综合大题部分,考情考向分析 1直线与圆的问题，以相交或相切为主，求直线或圆的有关定点、定值、最值问题 2直线与圆锥曲线的问题，以直线与椭圆、抛物线相交为主，求有关定点、定值、最值、范围或存在性问题,考点一 直线与圆的关系(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O相切于第一象限，且直线l与坐标轴交于点D，E，当线段DE的长度最小时，求直线l的方程；(3)设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由,(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，y
2、1)，故mn为定值，且其值为2.,解决此类问题，需要过好三关：一是“借形关”：根据题意画出示意图，理清其中关 系 二是“转化关”：如本题(1)(2)求圆的弦长、切线问题，转化为圆心到直线的距离 三是“化简关”：如本题(3)中，用坐标表示mn，并化简得定值,考点二 定点问题(1)求C的方程；(2)已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点,(2)证明：由(1)得P(1,1) 设l：xnyt，由于直线l不过点P(1,1)， 所以nt1.由题意，判别式n24t0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2n， y1y2t， ,由题意，得y1y
3、2(y1y2)11， 即y1y2(y1y2)0， 将代入得tn0，即tn. 所以l：xn(y1)显然l过定点(0，1),曲线过定点问题的求解思路一般有以下两种：一是“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明；二是“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标，如本题的求解,考点三 定值问题(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值,解析：(1)由题意知，M(a,0)，N(0，b)，点N是线段MB的中点， 点B
4、的坐标为B(a,2b)，,求定值问题常见的方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值,考点四 最值(范围)问题,证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(2)由题意得F(1,0)设P(x3，y3)，则 (x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0,0) 由(1)及题设得x33(x1x2)1， y3(y1y2)2m0.,有关圆锥曲线的最值问题类型多样且解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：代数法和几何法若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；若题目的条件和结论能体现一
5、种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值,考点五 存在性问题已知抛物线C：y2x2，直线l：ykx2交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交C于点N.(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；(2)是否存在实数k，使得以AB为直径的圆M经过点N？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,因为M是线段AB的中点，又过点M作x轴的垂线交C于点N，因为y2x2，所以y4x，故抛物线C在点N处的切线与AB平行,即k412k2640，解得k2. 故存在实数k2，使得以AB为直径的圆M经过点N.,有关存在性
6、问题的求解 (1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，并设出，列出关于待定系数的方程(组)，若方程(组)有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在 (2)反证法与验证法也是求解存在性问题的常用方法,求轨迹方程时忽视隐含条件致误 典例 (2018汕头校级期中测试)如图所示，在平面直角坐 标系xOy中，已知F(1,0)，直线l：x1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，异于点R的点Q满足：RQFP，PQl. (1)求动点Q的轨迹方程；(2)记点Q的轨迹方程为E，过点F作
7、两条互相垂直的直线AB与直线CD，分别交曲线E于A，B，C，D四点， 设AB，CD的中点分别为M，N.问直线MN是否过某个定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由,解析 (1)依题意知，直线l的方程为x1，R是线段FP的中点，且RQFP，所以RQ是线段FP的垂直平分线，所以|PQ|QF|.易知|PQ|是点Q到直线l的距离，所以动点Q的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线l：x1为准线的抛物线(除原点外)，(利用抛物线的定义判定轨迹是抛物线) 故动点Q的轨迹方程为y24x(x0)(写轨迹方程时勿遗漏限制条件x0) (2)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，N(xN，yN),
8、整理得y(1k2)k(x3)， 所以直线MN恒过点(3,0)(当x3，y0时，等式成立，与参数k无关),易错防范 (1)本题易忽视限制条件“点Q异于点R”，从而得到“动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线”这一错误结论事实上，当点Q位于原点时，点Q与点R重合，不符合题意 (2)“到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是抛物线”，这一定义中隐含着一个条件“定点不在定直线上”，如果定点在定直线上，那么到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹是过该点并且垂直于定直线的直线，而不是抛物线 (3)遗漏直线的斜率不存在的情况 (4)求解圆锥曲线综合问题时忽视“相交”的限制 (5)求解圆锥曲线综合问题时不能合理转化已知条件,
