1、专题7 立体几何,第2讲 综合大题部分,考情考向分析 1以解答题的形式，借助柱、锥体证明线面、平行、垂直 2利用空间向量求二面角、线面角、线线角的大小 3利用空间向量探索存在性问题及位置关系,(1)求证：EF平面BB1C1C；(2)若二面角C EF B1的大小为90，求直线A1B1与平面B1EF所成角的正弦值,解析：(1)证明：如图，连接AC1，BC1， 则FAC1且F为AC1的中点， 又E为AB的中点，EFBC1， 又BC1平面BB1C1C，EF平面BB1C1C， 故EF平面BB1C1C. (2)因为三棱柱ABC A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1平面ABC，得ACCC1，BCCC1.,故
2、ACBC2.以C为原点，分别以CB，CC1，CA所在直线为x轴，y轴，z轴建立如 图所示的空间直角坐标系设CC12(0)，则E(1,0,1)，F(0，1)，B1(2,2，0)，,令y1，得m(，1，)， 同理可得平面B1EF的一个法向量为n(，1,3)， 二面角C EF B1的大小为90， mn21320，,解析：(1)证明：由ABCD是直角梯形，E为CD的中点，DEAD1，BDAE， 又PBAE，PBBDB，AE平面PBD， AE平面ABCD，平面PBD平面ABCD.,(2)如图，作POBD于O，连接OC， 平面PBD平面ABCD，平面PBD平面ABCDBD，PO平面ABCD，以OB，OC，
3、OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，,3(已知位置探索点)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，CACBCC12，ACC1CC1B1，直线AC与直线BB1所成的角为60.(1)求证：AB1CC1；,解析：(1)证明：在三棱柱ABC A1B1C1中，各侧面均为平行四边形， 所以BB1CC1， 则ACC1即为AC与BB1所成的角， 所以ACC1CC1B160， 如图，连接AC1和B1C， 因为CACBCC12， 所以ACC1和B1CC1均为等边三角形， 取CC1的中点O，连AO和B1O， 则AOCC1，B1OCC1， 又AOB1OO， 所以CC1平面AOB1， AB1平面AOB1， 所以AB1C
4、C1.,1向量法求直线和平面所成的角,2向量法求二面角,3解决立体几何中探究性问题的基本方法(1)通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在(2)探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理,1混淆“两向量关系”和“线面关系” 典例1 如图所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是菱形，PD平面ABCD，PDAD3，PM2MD，AN2NB，D
5、AB60.(1)求证：直线AM平面PNC；(2)求二面角D PC N的余弦值,解析 (1)证明：取AB的中点E，因为底面ABCD是菱形，DAB60， 所以AED90. 因为ABCD， 所以EDC90，即CDDE. 又PD平面ABCD，CD，DE平面ABCD， 所以PDCD，PDDE. 故DP，DE，DC两两垂直,以D为坐标原点，DE，DC，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，如图所示,又AM平面PNC， 所以直线AM平面PNC. (2)由题意得，平面PDC的一个法向量为m(1,0,0),易错防范 利用向量法证明立体几何问题的注意点：建立空间直角坐标系时，一定要有三线垂直或
6、先证明三线垂直；证明线面平行时，证明了直线的方向向量和平面的法向量垂直后，不要忘记说明直线不在平面上；用向量法来证明平行与垂直，尤其是利用向量法来证明正方体、长方体、直四棱柱中的相关问题时，避免了繁杂的推理论证，把几何问题代数化，但是向量法要求计算必须准确无误,2混淆“两向量夹角”与“空间角” 典例2 (2018江西宜春段考)如图所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB平面ABCD，PBPC，ABC45，E是线段PA上靠近点A的三等分点(1)求证：ABPC；(2)若PAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值,解析 (1)证明：作POAB于O，连接O
7、C. 因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB， 所以PO平面ABCD.(利用面面垂直的性质定理) 因为PBPC，所以POBPOC， 所以OBOC. 因为ABC45，所以BOC90， 即OCAB. 又POCOO，所以AB平面POC. 因为PC平面POC，所以ABPC.(利用线面垂直的判定定理与性质定理),(2)因为PAB是边长为2的等边三角形，依题意建立如图所示的空间直角坐标系，,易错防范 本题第(2)问是利用向量法求线面角的问题，常见易错点如下： 不能根据相关的线面垂直，建立适当的空间直角坐标系；建立空间直角坐标系后，在向量坐标的计算中出现错误；利用向量法求线面角时，没有注意到线面角与直线的方向向量和平面法向量的夹角之间的关系，误认为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是所求线面角,
