1、第 二 章,数列,2.4 等比数列,第1课时 等比数列的概念与通项公式,自主预习学案,我们古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？,1等比数列的定义 如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比都等于_，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母_表示,第2项,同一个常数,公比,q,2等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列an的首项为a1，公比为 q(q0)， 填表：,3等比中项 (1)如果三个数x，G，y组
2、成_，则G叫做x和y的等比中项 (2)如果G是x和y的等比中项，那么_，即_.,q,a1qn1,等比数列,G2xy,B,2下列说法：公差为0的等差数列是等比数列；b2ac，则a，b，c成等比数列；2bac，则a，b，c成等差数列；任意两项都有等比中项正确的有 ( ) A B C D 解析 公差为0的非零数列是等比数列，故不正确，中只有a，b，c都不为0才正确，只有同号的两项才有等比中项，只有正确,B,3在等比数列an中，a18，a464，则a3等于 ( ) A16 B16或16 C32 D32或32 解析 a4a1q38q364，q38，q2. a3a1q282232.,C,4已知等比数列an
3、中，a12，a38，则an_.,2n或(2)n,5若等比数列an满足anan116n，求公比q的值,互动探究学案,命题方向1 等比数列的通项公式,已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an. 分析 (1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写成a1与q的关系式即可 (2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a38求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解,例题 1,规律总结 求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，
4、在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个,跟踪练习1 在等比数列an中， (1)a42，a78，求an； (2)a2a518，a3a69，an1，求n.,命题方向2 等比数列的判定与证明,已知数列an满足a11，an12an1，bnan1(nN*) (1)求证bn是等比数列； (2)求an的通项公式,例题 2,跟踪练习2 数列an满足a11，且an3an12n3(nN*，且n2) (1)求a2，a3，并证明数列ann是等比数列； (2)求数列an的通项公式,命题方向3 等比中项,等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是 ( ) A90
5、 B100 C145 D190,例题 3,B,规律总结 等比中项的应用主要有两点：计算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用用来判断或证明等比数列,跟踪练习3 在等比数列an中，a5，a9是方程7x218x70的两个根，则a7_.,1,等比数列an的前三项的和为168，a2a542，求a5、a7的等比中项,例题 4,忽视等比中项的符号致错,辨析 错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数,某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值 (1)用一个式子表示第n(nN)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满4
6、年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 分析 根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决,例题 5,数列的实际应用问题,解析 (1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an， 由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，. 由等比数列定义知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q(110%)0.9， ana1qn113.5(0.9)n1.第n年车的价值为an13.5(0.9)n1万元 (2)当他用满4年时，车的价值为a513.5(0.9)518.857. 用满4年卖掉时，他大概能得8.857万元,规律总结 解答数
7、列实际应用问题的一般思路 (1)建模：根据题设条件，建立数列模型：分析实际问题的结构特征；找出所含元素的数量关系；确定为何种数列模型； (2)解模：利用相关的数列知识加以解决：分清首项、公差、项数等；分清是an还是Sn问题；选用适当的方法求解； (3)还原：把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解,1已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于 ( ) A64 B81 C128 D243 解析 设等比数列的公比为q， a1a23，a2a3q(a1a2)6，q2. 又a1a2a1a1q3，3a13.a11，a72664.,A,2在等比数列an中，a3a44，a22，则公比q等于 ( ) A2 B1或2 C1 D1或2 解析 在等比数列an中，a3a44，a22，a3a4a2qa2q22q2q24，即q2q20.解得q1或q2.故选B,B,4,
