1、第 二 章,数列,2.2 等差数列,第2课时 等差数列的性质,自主预习学案,1等差数列an的一些简单性质 (1)对于任意正整数n、m都有anam(nm)d. (2)对任意正整数p、q、r、s，若pqrs，则 apaqar_. 特别地对任意正整数p、q、r若pq2r，则apaq_.,as,2ar,(3)对于任意非零常数b，若数列an成等差，公差为d，则ban也成等差数列，且公差为_. (4)若an与bn都是等差数列，cnanbn，dnanbn则cn，dn都是等差数列 (5)等差数列an的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列如a1，a4，a7，a3n2，成等差数列,bd,2等差数列的单调性 等
2、差数列an的公差为d，则当d0时，等差数列an是常数列，当d0时，等差数列an是单调递_数列,减,增,1在等差数列an中，已知a4a820，则a2a10 ( ) A12 B16 C20 D24 解析 由等差数列的性质知，a2a10a4a820.,C,2已知等差数列an中，a34，a68，则a9 ( ) A10 B12 C14 D16 解析 由等差数列的性质，得2a6a3a9， a92a6a316412.,B,3设数列an、bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5 ( ) A35 B38 C40 D42 解析 数列an、bn都是等差数列，a1b1a5b5(a1a5)(b1b5)2
3、a32b32(a3b3)42，a5b542(a1b1)42735.,A,4已知等差数列an，若a2 008和a2 012是方程x25x60的两个根，则a2 003a2 017_. 解析 由题意得a2 008a2 0125， 又数列an为等差数列， a2 003a2 017a2 008a2 0125.,5,5在等差数列an中，a4a7a1018，a6a8a1027，若ak21，求k的值 解析 a4a7a103a718，a76，又a6a8a103a827，a89， 公差da8a73，又ak21， aka7(k7)d，2163(k7)， k12.,互动探究学案,命题方向1 等差数列通项公式的推广an
4、am(nm)d的应用,若an为等差数列，a158，a6020，求a75.,例题 1,点评 1.因为a15和a60都可用a1和d表示，故可列方程组解出a1和d，进而求出a75. 2因为an为等差数列，又序号15,30,45,60,75成等差数列，所以根据等差数列的性质，a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列 3解法二中公差d指的是数列a15，a30，a45，a60，a75的公差，与解法一和解法三中的公差不同，注意区分,规律总结 解答数列问题，读题、审题时一定要注意观察项的下标是否具有某种关系(或规律)，这种关系(或规律)往往就是应用性质解题的突破口,跟踪练习1 等差数列an中，a23
5、，a86，则a10_.,7,命题方向2 运用等差数列性质amanapaq(m、n、p、qN，且mnpq)解题,在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列的通项公式 分析 要求通项公式，需要求出首项a1及公差d，由a2a5a89和a3a5a721直接求解很困难，这样促使我们转换思路如果考虑到等差数列的性质，注意到a2a82a5a3a7问题就好解了,例题 2,解析 a2a5a89，a3a5a721， 又a2a8a3a72a5，a3a72a56， a3a77， 由、解得a31，a77，或a37，a71， a31，d2或a37，d2. 由ana3(n3)d， 得an2n7，或an2
6、n13.,规律总结 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列an的性质：若mnpq2w，则amanapaq2aw(m，n，p，q，w都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差建立方程(组)求解,跟踪练习2 在等差数列an中，已知a7a816，则a2a13 ( ) A12 B16 C20 D24 解析 在等差数列an中，a2a13a7a816，故选B,B,命题方向3 等差数列的综合应用,在ABC中，若lg(sinA)，lg(sinB)，lg(sinC)成等差数列，并且三个内角A，B，C也成等差数列，试判断该三角形的形状 分析 利用等差中项先求角B，再确定A、C的关系，判断出三角形的
7、形状,例题 3,规律总结 审清题意，将文字语言翻译转化为数学语言是一项重要的基本功要注意有意识的加强训练,D,已知等差数列an的首项为a1，公差为d，且a1126，a5154，该数列从第几项开始为正数,例题 4,辨析 错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n24时，此时a240.,警示 解题时要加强对题中关键词的理解，提高审题能力；二是加强等价转化的训练，防止不等价转化致误,三个数或四个数成等差数列时，设未知量的技巧如下： (1)当等差数列an的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：，a2d，ad，a，ad，a2d，. (2)当等差数列an的项数n为偶数
8、时，可设中间两项为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设项：，a3d，ad，ad，a3d，这样可减少计算量,对称项的设法,成等差数列的四个数之和为26，第二个数和第三个数之积为40，求这四个数 分析 已知四个数成等差数列，有多种设法，但如果四个数的和已知，常常设为a3d，ad，ad，a3d更简单再通过联立方程组求解,例题 5,1等差数列an中，a6a916，a41，则a11 ( ) A64 B30 C31 D15,D,2在等差数列an中，a1a4a758，a2a5a844，则a3a6a9的值为 ( ) A30 B27 C24 D21 解析 设b1a1a4a758，b2a2a5a844，b3a3a6a9.因为an是等差数列，所以b1，b2，b3也是等差数列，得b1b32b2，所以b32b2b12445830，即a3a6a930.,A,3等差数列an是递增数列，若a2a416，a1a528，则通项an_.,3n1,4已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式,
