1、1第 21 讲 函数应用题1.某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为 E=cvnT,其中 v 为探测器在静水中行进时的速度,T为行进的时间(单位:小时),c 为常数,n 为能量次级数.如果水的速度为 4km/h,该生物探测器在水中逆流行进 200km.(1)求 T 关于 v 的函数关系式;(2)(i)当能量次级数为 2 时,求该探测器消耗的最少能量;(ii)当能量次级数为 3 时,试确定使该探测器消耗的能量最少的 v 的大小.2.(2017 江苏南京二十九中模拟)某商店经销一种纪念徽章,每枚徽章的成本为 30 元,并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴 a 元(a 为常数,2a5),设每枚徽
2、章的售价为 x 元(35x41).根据市场调查,日销售量与 ex(e 为自然对数的底数)成反比例.已知当每枚徽章的售价为 40 元时,日销售量为 10 枚.(1)求该商店的日利润 L(x)与每枚徽章的售价 x 之间的函数关系式;(2)当每枚徽章的售价为多少元时,该商店的日利润 L(x)最大?并求出 L(x)的最大值.3.(2018 江苏丹阳中学等三校高三下学期联考(实验班)2017 年 6 月以来,某地区多次爆发“流感”疫情,引起某种消毒液热销.该消毒液原来每瓶的成本为 8 元,售价为 10 元,月销售量为 6 万瓶.(1)据市场调查,若售价每提高 0.5 元,则月销售量相应减少 0.4 万瓶
3、,要使提价后月利润不低于原来的月利润,则消毒液每瓶售价最高为多少元?(2)为了提高月利润,厂家决定下月投入部分资金进行广告促销,计划每瓶的售价为 x(x12)元,并投入(x-12)万元作为广告费用.据市场调查,售价每瓶每提高 0.5 元,月销售量将相应减少 万瓶.当售345 1.8(x-10)2价 x 为多少元时,下月利润最大?并求出最大利润.2答案精解精析1.解析 (1)由题意得,该探测器相对于河岸的速度为 km/h,200T又该探测器相对于河岸的速度比相对于水的速度小 4km/h,即 v-4,所以 =v-4,即 T= km/h(v4).200T 200v-4(2)(i)当能量次级数为 2
4、时,由(1)知 E=200c ,v4,v2v-4E=200c(v-4)+42v-4=200c(v-4)+16v-4+8200c 2 (v-4)16v-4+8=3200c ,(当且仅当 v-4=16v-4即 v=8时,取等号 )所以该探测器消耗的最少能量为 3200c.(ii)当能量次级数为 3 时,由(1)知 E=200c ,v4,v3v-4由 E=200c =0 得 v=6,2v2(v-6)(v-4)2当 v6 时,E0,所以当 v=6 时,E min=21600c.2.解析 (1)设日销售量为 枚,则 =10,kex ke40所以 k=10e40,则日销售量为 枚.10e40ex每枚徽章的
5、售价为 x 元时,每枚徽章的利润为(x-30-a)元,则 L(x)=(x-30-a) =10e40 (35x41).10e40ex x-30-aex(2)由(1)知,L(x)=10e 40 (35x41),31+a-xex令 L(x)=0,得 x=31+a.当 2a4 时,3331+a35,而 35x41,所以 L(x)0,此时 L(x)在35,41上单调递减,则当 x=35 时,L(x)取得最大值,最大值为 10(5-a)e5.当 40,L(x)在35,a+31上单调递增;3当 x(a+31,41时,L(x)0,当 x13 时,y0,所以 x=13 时,y 取最大值,此时 y=17.2.答:当每瓶售价为 13 元时,月销售利润最大,最大利润为 17.2 万元.
