1、1单元质检八 立体几何( B)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.(2018 北京,文 6)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 C解析 由三视图得到空间几何体,如图所示,则 PA平面 ABCD,平面 ABCD 为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC=1,所以 PA AD,PA AB,PA BC.又 BC AB,AB PA=A,所以 BC平面 PAB,所以 BC PB.在 PCD 中, PD=2 ,PC=3,CD= ,2 5所以 PCD 为锐角三角形 .所以侧
2、面中的直角三角形为 PAB, PAD, PBC,共 3 个 .2.(2018 广西南宁期末)设 l,m,n 表示不同的直线, , , 表示不同的平面,给出下列四个命题: 若 m l,且 m ,则 l ; 若 ,m ,n ,则 m n; 若 , ,则 ;2 若 m n,m ,n ,则 .则错误的命题个数为( )A.4 B.3 C.2 D.1答案 B解析 若 m l,且 m ,则 l 是正确的,垂直于同一个平面的直线互相平行; 若 ,m ,n ,则 m n 是错误的,当 m 和 n 平行时,也会满足前面的条件; 若 , ,则 是错误的,垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的; 若 m n,m ,n
3、 ,则 是错误的,平面 和 可以是任意的夹角 .故选 B.3.已知四棱锥 P-ABCD 的顶点都在球 O 上,底面 ABCD 是矩形,平面 PAD平面 ABCD, PAD 为正三角形, AB=2AD=4,则球 O 的表面积为( )A. B. C.24 D.563 643 803答案 B解析 令 PAD 所在圆的圆心为 O1,则易得圆 O1的半径 r= ,因为平面 PAD平面 ABCD,所以233OO1= AB=2,所以球 O 的半径 R= ,12 4+(233)2= 43所以球 O 的表面积 =4 R2= .6434.如图,已知直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为 3, BA
4、D=60,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1上运动,另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 的中点 P 的轨迹(曲面)与共顶点 D 的三个面所围成的几何体的体积为( )A. B. C. D.29 49 23 43答案 A3解析 |MN|=2,则 |DP|=1,则点 P 的轨迹为以 D 为球心,半径 r=1 的球,则球的体积为 V= r3= .43 43 BAD=60, ADC=120,120为 360的 ,只取半球的 ,则 V= .13 13 431312=295.如图,在三棱柱 ABC-ABC中, E,F,H,K 分别为 AC,CB,AB,BC的中点, G 为 A
5、BC 的重心 .从K,H,G,B中取一点,设为 P,使得该棱柱恰有两条棱与平面 PEF 平行,则 P 为点 ( )A.G B.HC.K D.B答案 A解析 若 P 为点 G,连接 BC,则 F 为 BC的中点,EF AB,EF AB.AB 平面 GEF,AB平面 GEF.P 为点 G 符合题意;若 P 为点 K,则有三条侧棱和 AB,AB与该平面平行,不符合题意 .若 P 为点 H,则有上下两底面中的六条棱与该平面平行,不符合题意;若 P 为点 B,则只有一条棱 AB 与该平面平行,也不符合题意,故选 A.6.4(2018 四川雅安模拟)九章算术是我国古代的数学名著,书中提到一种名为“刍甍”的
6、五面体,如图,四边形 ABCD 是矩形,棱 EF AB,AB=4,EF=2, ADE 和 BCF 都是边长为 2 的等边三角形,则这个几何体的体积是( )A. B. +2 C. D.203 83 3 1023 823答案 C解析 过 E 作 EG平面 ABCD,垂足为 G,过 F 作 FH平面 ABCD,垂足为 H,过 G 作 PQ AD,交 AB 于 Q,交 CD 于 P,过 H 作 MN BC,交 AB 于 N,交 CD 于 M,如图所示 . 四边形 ABCD 是矩形,棱 EF AB,AB=4,EF=2, ADE 和 BCF 都是边长为 2 的等边三角形, 四边形 PMNQ 是边长为 2
7、的正方形, EG= , 这个几何体的体积 V=VE-AQPD+VEPQ-FMN+VF-( 3)2-12= 2NBCM= 12 2+ 2 2= +2 .13 2 12 2 423 2=1023二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.(2018 天津,文 11)如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1,则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为 . 答案13解析 正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1, =V 正方体 -V四棱锥 A1-BB1D1D V三棱锥 A1-ABD-V三棱柱 BCD-B1C1D1=1- 111- 111= .1312 12 13
8、58.已知 Rt ABC 所在平面 外一点 P 到直角顶点的距离为 24,到两直角边的距离都是 6 ,则点10P 到平面 的距离等于 . 答案 12解析 作 PO平面 ,作 OE AC,OF AB,则 AC平面 POE,AB平面 POF,PE=PF= 6 ,从而 OE=OF.10 EAO= FAO=45.在 Rt PAE 中, PA=24,PE=6 ,10AE 2=PA2-PE2=216.又在 Rt OEA 中, OE=AE, 在 Rt POE 中, PO= PE2-OE2= =12.PE2-AE2= (6 10)2-216三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)(201
9、8 重庆二诊)在三棱柱 ABC-A1B1C1中, M,N,O 分别为棱 AC1,AB,A1C1的中点 .(1)求证:直线 MN平面 AOB1;(2)若三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 10 ,求三棱锥 A-MON 的体积 .36(1)证明 连接 A1B 交 AB1于点 P,连接 NP,OP.则 P 是 AB1的中点 .N 是 AB 的中点,NP BB1,且 NP= BB1.12又 M,O 分别是 AC1,A1C1的中点,MO AA1,且 MO= AA1.12AA 1 BB1,且 AA1=BB1,MO NP,且 MO=NP, 四边形 MOPN 为平行四边形, MN OP.又 MN平面 AOB
10、1,OP平面 AOB1,MN 平面 AOB1.(2)解 由题意,得 VA-MON=VN-AMO= .12VN-AC1O=14VN-C1A1A=18VB-C1A1ABB 1平面 AA1C1, ,VB-C1A1A=VB1-C1A1A ,VB1-C1A1A=13VABC-A1B1C1=1033V A-MON= .181033 =531210.(15 分)(2018 湖南郴州质检)如图,在长方形 ABCD 中, AB=4,BC=2,现将 ACD 沿 AC 折起,使 D 折到 P 的位置,且 P 在平面 ABC 上的射影 E 恰好在线段 AB 上 .(1)求证: AP PB;(2)求三棱锥 P-EBC
11、的表面积 .7(1)证明 由题知 PE平面 ABC.BC 平面 ABC,PE BC.又 AB BC,且 AB PE=E,BC 平面 PAB.AP 平面 PAB,BC AP.又 AP CP,且 BC CP=C,AP 平面 PBC.PB 平面 PBC,AP PB.(2)解 在 PAB 中,由(1)得 AP PB,AB=4,AP=2,PB= 2 ,PE= ,32234 = 3BE= 3,S PEB= 3 .12 3=332在 EBC 中, EB= 3,BC=2,S EBC= 32=3.12在 PEC 中, EC= ,EB2+BC2= 13S PEC= ,12 3 13= 392S PBC= BCPB
12、= 22 =2 ,12 12 3 3 三棱锥 P-EBC 的表面积为 S=S PEB+S EBC+S PEC+S PBC= +3+ +2 .332 392 3=73+ 39+6211.(15 分)如图,三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直, PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明: BC平面 PDA;(2)证明: BC PD;(3)求点 C 到平面 PDA 的距离 .(1)证明 因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BC AD.8因为 BC平面 PDA,AD平面 PDA,所以 BC平面 PDA.(2)证明 因为四边形 ABCD 是长方形,所以 BC CD.因为平
13、面 PDC平面 ABCD,平面 PDC平面 ABCD=CD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 PDC.因为 PD平面 PDC,所以 BC PD.(3)解 取 CD 的中点 E,连接 AE 和 PE.因为 PD=PC,所以 PE CD.在 Rt PED 中, PE= .PD2-DE2= 42-32= 7因为平面 PDC平面 ABCD,平面 PDC平面 ABCD=CD,PE平面 PDC,所以 PE平面 ABCD.由(2)知 BC平面 PDC.由(1)知 BC AD.所以 AD平面 PDC.因为 PD平面 PDC,所以 AD PD.设点 C 到平面 PDA 的距离为 h,因为 V 三棱锥 C-PDA=V 三棱锥 P-ACD,所以 S PDAh= S ACDPE,13 13即 h= ,S ACDPES PDA=123671234 =372所以点 C 到平面 PDA 的距离是 .3729
