1、1单元质检八 立体几何( A)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分)1.若平面 平面 ,且平面 内的一条直线 a 垂直于平面 内的一条直线 b,则( )A.直线 a 必垂直于平面 B.直线 b 必垂直于平面 C.直线 a 不一定垂直于平面 D.过 a 的平面与过 b 的平面垂直答案 C解析 ,a ,b ,a b,当 =a 时, b ;当 =b 时, a ,其他情形则未必有b 或 a ,所以选项 A,B,D 都错误,故选 C.2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是( )A. +1 B. +3
2、C. +1 D. +3 2 2 32 32答案 A解析 V= 3 +1,故选 A.13 (12 12+1221)= 23.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 .若 AB=3,AC=4,AB AC,AA1=12,则球 O 的半径为( )A. B.2 C. D.33172 10 132 10答案 C2解析 由计算可得 O 为 B1C 与 BC1的交点 .设 BC 的中点为 M,连接 OM,AM,则可知 OM面 ABC,连接 AO,则 AO 的长为球半径,可知 OM=6,AM= ,在52Rt AOM 中,由勾股定理得 R= .1324.(2018 福建宁德期末)我国
3、古代数学名著孙子算经中有如下问题:“今有筑城,上广二丈,下广五丈四尺,高三丈八尺,长五千五百五十尺,秋程人功三百尺 .问:须工几何?”意思是:“现要筑造底面为等腰梯形的直棱柱的城墙,其中底面等腰梯形的上底为 2 丈,下底为 5.4 丈,高为 3.8 丈,直棱柱的侧棱长为 5 550 尺 .如果一个秋天工期的单个人可以筑出 300 立方尺,问:一个秋天工期需要多少个人才能筑起这个城墙?”(注:一丈等于十尺)( )A.24 642 B.26 011 C.52 022 D.78 033答案 B解析 根据棱柱的体积公式,可得城墙所需土方为 385550=7803300(立方尺),一个秋天工期20+54
4、2所需人数为 =26011,故选 B.78033003005.在空间四面体 ABCD 中,平面 ABD平面 BCD,且 DA平面 ABC,则 ABC 的形状是( )A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定答案 B解析 作 AE BD,交 BD 于 E, 平面 ABD平面 BCD,AE 平面 BCD,BC平面 BCD,3AE BC.而 DA平面 ABC,BC平面 ABC,DA BC.又 AE AD=A,BC 平面 ABD.而 AB平面 ABD,BC AB,即 ABC 为直角三角形 .故选 B.二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)6.已知四棱锥 P-A
5、BCD 的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为 . 答案 5解析 因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为 4,2,满足侧面 PAD底面 ABCD, PAD 为等腰直角三角形,且高为 2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为 .12 42+22= 57.已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在的平面,若 PC BD,则平行四边形 ABCD 的形状一定是 .答案 菱形解析 因为 PA平面 ABCD,BD平面 ABCD,所以 PA BD.4又 PC BD,且 PC平面 PAC,PA平面 PAC,PC PA=P,所以 BD平
6、面 PAC.又 AC平面 PAC,所以 BD AC.又四边形 ABCD 是平行四边形,所以四边形 ABCD 是菱形 .8.已知 A,B,C,D 是球面上不共面的四点, AB=AC= ,BD=CD= ,BC= ,平面 ABC平面 BCD,则此球3 2 6的体积为 . 答案 823解析 如图所示,设球心坐标为 O,连接 OD,交 BC 于点 E,连接 AE,由题意可知 OE2+AE2=OA2.设球的半径 R=OD=OA=x,由题意,得 =x2,(22-x)2+(62)2解得 x= ,则此球的体积为 V= R3= .243 823三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)如下的三
7、个图中,左面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在右面画出(单位:cm) .(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接 BC,证明 BC平面 EFG.5(1)解 如图:(2)解 所求多面体体积 V=V 长方体 -V 正三棱锥 =446- 2= (cm3).13(1222) 2843(3)证明 在长方体 ABCD-ABCD中,连接 AD,则 AD BC.因为 E,G 分别为 AA,AD的中点,所以 AD EG.从而 EG BC.又 BC平面 EFG,所以 BC平面 EFG.10.(15 分
8、)(2018 河南商丘二模)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,侧面 ABB1A1底面ABC,AC AB,AC=AB=AA1=2, AA1B1=60,E,F 分别为棱 A1B1,BC 的中点 .(1)求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积;(2)在直线 AA1上是否存在一点 P,使得 CP平面 AEF?若存在,求出 AP 的长;若不存在,说明理由 .解 (1)在三棱柱 ABC-A1B1C1中, A1B1=AB.因为 AB=AA1=2,所以 A1B1=AA1=2.6又因为 AA1B1=60,连接 AB1,所以 AA1B1是边长为 2 的正三角形 .因为 E 是棱 A1B1的中点,所以 AE A
9、1B1,且 AE= .3又 AB A1B1,所以 AE AB.又侧面 ABB1A1底面 ABC,且侧面 ABB1A1底面 ABC=AB,又 AE侧面 ABB1A1,所以 AE底面 ABC,所以三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 V=S ABCAE= ABACAE= 22 =2 .12 12 3 3(2)在直线 AA1上存在点 P,使得 CP平面 AEF.理由如下:连接 BE 并延长,与 AA1的延长线相交,交点为 P.连接 CP.因为 A1B1 AB,故 .PEPB=PA1PA=A1EAB因为 E 为棱 A1B1的中点, AB=A1B1,所以 ,所以 PE=EB.A1EAB=12又 F 为棱
10、 BC 的中点,所以 EF 为 BCP 的中位线,所以 EF CP.又 EF平面 AEF,CP平面 AEF,所以 CP平面 AEF.故在直线 AA1上存在点 P,使得 CP平面 AEF.此时, PA1=AA1=2,所以 AP=2AA1=4.11.(15 分)如图,在三棱锥 V-ABC 中,平面 VAB平面 ABC, VAB 为等边三角形, AC BC,且 AC=BC=,O,M 分别为 AB,VA 的中点 .27(1)求证: VB平面 MOC;(2)求证:平面 MOC平面 VAB;(3)求三棱锥 V-ABC 的体积 .(1)证明 因为 O,M 分别为 AB,VA 的中点,所以 OM VB.又因为 VB平面 MOC,所以 VB平面 MOC.(2)证明 因为 AC=BC,O 为 AB 的中点,所以 OC AB.又因为平面 VAB平面 ABC,平面 VAB平面 ABC=AB,OC平面 ABC,所以 OC平面 VAB,所以平面 MOC平面 VAB.(3)解 在等腰直角三角形 ACB 中, AC=BC= ,2所以 AB=2,OC=1.所以等边三角形 VAB 的面积 S VAB= .3又因为 OC平面 VAB,所以三棱锥 C-VAB 的体积等于 OCS VAB= .13 33又因为三棱锥 V-ABC 的体积与三棱锥 C-VAB 的体积相等,所以三棱锥 V-ABC 的体积为 .338
