1、1课时作业 24 解三角形应用举例基础达标一、选择题1如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m， ACB45， CAB105，则 A， B 两点的距离为( )A50 m B50 m2 3C25 m D. m22522解析：由正弦定理得AB 50 (m)ACsin ACBsinB502212 2答案：A222019武汉三中月考如图，两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A在观察站南偏西 40方向上，灯塔 B 在观察站南偏东 60方向上，则灯塔 A 在灯塔 B 的( )A北偏东 10方向上 B北偏西 10方向上C南
2、偏东 80方向上 D南偏西 80方向上解析：由条件及题图可知， A ABC40，因为 BCD60，所以 CBD30，所以 DBA10，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80方向上答案：D3.如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D，测得 BCD15， BDC30， CD30 m，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB等于( )A5 m B15 m6 3C5 m D15 m2 6解析：在 BCD 中， CBD1801530135.由正弦定理得 ，解得 BC15 (m)BCsin30 30sin135 2在 Rt ABC 中，AB BC
3、tan ACB15 15 (m)2 3 6答案：D4某船开始看见灯塔在南偏东 30方向，后来船沿南偏东 60的方向航行 15 km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( )A5 km B10 kmC5 km D5 km3 23解析：作出示意图(如图)，点 A 为该船开始的位置，点 B 为灯塔的位置，点 C 为该船后来的位置，所以在 ABC 中，有 BAC603030， B120， AC15，由正弦定理，得 ，15sin120 BCsin30即 BC 5 ，即这时船与灯塔的距离是 5 km.151232 3 3答案：C5.如图，在离地面高 400 m 的热气球上，观测到山顶 C 处的
4、仰角为 15，山脚 A 处的俯角为 45，已知 BAC60，则山的高度 BC 为( )A700 m B640 mC600 m D560 m解析：根据题意，可得在 Rt AMD 中， MAD45， MD400，所以 AM 400 .MDsin45 2因为 MAC 中， AMC451560， MAC180456075，所以 MCA180 AMC MAC45，由正弦定理，得 AC 400 ，MAsin AMCsin MCA40023222 3在 Rt ABC 中， BC ACsin BAC400 600(m)332答案：C4二、填空题62019山东省，湖北省部分中学质量检测如图，在某岛附近海底某处有
5、一条海防警戒线，在警戒线上的点 A， B， C 处各有一个水声监测点， B， C 两点到 A 的距离分别为 20千米和 50 千米，某时刻 B 点接收到发自水中 P 处的一个声波信号，8 秒后 A， C 同时接收到该声波信号，假设声波在水中的传播速度是 1.5 千米/秒，则 P 到海防警戒线的距离为_千米解析：通解 依题意知 PA PC，设 PA PC x， PB x1.58 x12.在 PAB 中，AB20，则 cos PAB ，在 PAC 中，PA2 AB2 PB22PAAB x2 202 x 12 22x20 3x 325xAC50，则 cos PAC .因为 cos PABcos PA
6、C，所PA2 AC2 PC22PAAC x2 502 x22x50 25x以 ，解得 x31，过点 P 作 PD AC 于点 D，则 AD25，在 Rt ADP 中， PD3x 325x 25x4 .故 P 到海防警戒线的距离为 4 千米312 252 21 21优解 过点 P 作 PD AC 于点 D，设 PB x，由题意知，PA PC x1.58 x12， AD25， BD5，在 Rt PAD 中， PD2 PA2 AD2( x12)225 2，在 Rt PBD 中， PD2 PB2 BD2 x25 2，则( x12) 225 2 x25 2，可得 x19，故 PD 4 ，即 P 到海防警
7、戒线的距离为 4 千米192 52 21 21答案：4 2172019南昌市模拟已知台风中心位于城市 A 东偏北 ( 为锐角)度的 150 公里处，以 v 公里/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北 ( 为锐角)度的 200 公里处，若 cos( ) ，则 v_.2425解析：如图所示， AB150， AC200，根据题意可知 B ， C ，因为cos( ) ，所以 sin( ) .2425 1 (2425)2 725在三角形 ABC 中，由正弦定理 ，得 ，ABsinC ACsinB 150sin 200sin得 4sin 3sin ，所以 4sin 3sin ( )3
8、sin cos( )5cos sin( )3 ，整理得 4sin 3cos .(2425sin 725cos )又 sin2 cos 2 1，所以 sin ，进而 sin ，所以有 sin2 sin 2 1，35 45所以 90 ，所以 BAC180( )90，所以 BC 250，故AB2 AC2 1502 2002v 100.2502.5答案：10082019福建检测在平面四边形 ABCD 中， AB1， AC ， BD BC， BD2 BC，则5AD 的最小值为_解析：设 BAC ， ABD ( (0，)，则 ABC .在 ABC 中，由余 2弦定理，得 BC2 AB2 AC22 ABAC
9、cos 62 cos ，由正弦定理，得 5BCsin，即 BC .在 ABD 中，由余弦定理，得ACsin( 2) 5sincosAD2 AB2 DB22 ABDBcos 14 BC24 BCcos 14(62 cos )54 cos 25 8 cos 4 sin 25 20sin( )5sincos 5 5，所以当 sin( )1，即 sin ，cos 时，(其 中 sin 255， cos 55) 55 255AD2取得最小值 5，所以 AD 的最小值为 .5答案： 5三、解答题92019石家庄检测某学校的平面示意图如图中的五边形区域 ABCDE，其中三角形区域 ABE 为生活区，四边形区
10、域 BCDE 为教学区， AB， BC， CD， DE， EA， BE 为学校的主要道路(不考虑宽度) BCD CDE ， BAE ， DE3 BC3 CD km.23 3 911(1)求道路 BE 的长度；(2)求生活区 ABE 面积的最大值6解析：(1)如图，连接 BD，在 BCD 中，BD2 BC2 CD22 BCCDcos BCD ， BD km.27100 3310 BC CD， CDB CBD ， 232 6又 CDE ， BDE .23 2在 Rt BDE 中， BE (km)BD2 DE2 (3310)2 (910)2 335故道路 BE 的长度为 km.335(2)设 ABE
11、 ， BAE ， 3 AEB .23在 ABE 中，易得 ，ABsin AEB AEsin ABE BEsin BAE 335sin 3 65 AB sin ， AE sin .65 (23 ) 65 SABE ABAEsin sin sin (km2)12 3 9325 (23 ) 932512sin(2 6) 14 9325(12 14) 2731000 ， 2 .23 6 676当 2 ，即 时， S ABE取得最大值，最大值为 km2， 6 2 3 273100故生活区 ABE 面积的最大值为 km2.27310010要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的
12、仰角是 45，在D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的 BCD120， CD40 cm，求电视塔的7高度解析：如图，设电视塔 AB 高为 x m，则在 Rt ABC 中，由 ACB45得 BC x.在Rt ABD 中， ADB30，则 BD x.3在 BDC 中，由余弦定理得，BD2 BC2 CD22 BCCDcos120，即( x)2 x240 22 x40cos120，3即得 x40，所以电视塔高为 40 m.能力挑战11在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距离 A 处( 1)海里的 B 处有一艘走私船；3在 A 处北偏西 75方向，距离 A 处 2 海里的 C 处的辑私船
13、奉命在 10 海里/时的速度追截3走私船同时，走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？解析：如图，设缉私船 t 时后在 D 处追上走私船，则有 CD10 t， BD10 t.3在 ABC 中， AB 1， AC2， BAC120.3利用余弦定理可得 BC .6由正弦定理，得sin ABC sin BAC ，ACBC 26 32 22得 ABC45，即 BC 与正北方向垂直于是 CBD120.在 BCD 中，由正弦定理，得sin BCD ，BDsin CBDCD 10tsin120103t 12得 BCD30，8 BDC30.又 ， ，得 t .CDsin120 BCsin30103t3 6 610所以缉私船沿北偏东 60的方向能最快追上走私船，最少要花 时610
