1、1第 2讲 利用导数研究函数的综合问题A组 小题提速练一、选择题1设函数 f(x)在 R上的导函数为 f( x)，且 2f(x) xf( x)x2，下面的不等式在 R上恒成立的是( )A f(x)0 B f(x)x D f(x)2 f(1)D f(0) f(2)2 f(1)解析：由题意得，当 x1 时， f( x)0，当 x1 时， f( x)0， f(x)的最小值为 f(1)，即对任意实数 x，都有 f(x) f(1)， f(0) f(1)， f(2) f(1)， f(0) f(2)2 f(1)，故选 D.答案：D3设 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，当 x0，且 f
2、(3)0，则不等式 f(x)g(x)0知 x12C x|x1 D x|11.12答案：B5(2018贵阳模拟)求曲线 y x2与直线 y x所围成的封闭图形的面积，其中正确的是( )A S (x2 x)dx10B S (x2 x)dx10C S (y2 y)dy10D S (y2 y)dy10解析：依题意，在同一坐标系下画出曲线 yx 2与直线 yx 的图象(图略)，注意到它们的交点坐标分别为(0,0)与(1,1)，结合图形及定积分的几何意义可知，相应的图形的面积可用定积分表示为 (x2 x)dx，选 B.10答案：B6(2018合肥模拟)在如图所示的正方形中随机投掷 10 000个点，则落入
3、阴影部分(曲线C的方程为 x2 y0)的点的个数的估计值为( )A5 000 B6 667C7 500 D7 854解析：S 阴影 S 正方形 x2dx1 ，所以有 ，解得 n6 667，故10 13 23 23 S阴 影S正 方 形 n10 0003选 B.答案：B7函数 f(x) x2 ln x的最小值为( )12A. B112C0 D不存在解析：f( x) x ，且 x0.令 f( x)0，得 x1；令 f( x)0，则函数 F(x)f xx xf(x) 的零点个数是( )1xA0 B1C2 D3解析：当 x0 时， f( x) 0，当 x0时，f xx xf x f xx xf x x
4、xf(x)0，则 h(x) xf(x)在(0，)上为增函数，且 h(0)0， h(x) xf(x)0在(0，)上恒成立，又 0， F(x)0在(0，)上恒成立，即 F(x)在(0，)上无1x零点当 x0在(，0)上恒成立，所以 F(x) xf(x) 在(,0)上为减函1x数，当 x0 时， xf(x)0， ，则 F(x)0，在0,2上， g( x)ex 2 x 1 1x20，10时， ye ax在(0,2上的最大值 e2a2，所以02，则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是( )A f(x1)f(x2) D不确定解析：由( x1) f( x)1时， f( x)0，函数单调递增因为函数 f(x
5、1)是偶函数，所以 f(x1) f(1 x)， f(x) f(2 x)，即函数 f(x)图象的对称轴为 x1.所以，若 1 x1f(x2)；若 x12 x11，此时有 f(x2)f(x2)综上，必有f(x1)f(x2)，选 C.答案：C二、填空题13定积分 dx_.4016 x2解析：由 y 得 x2 y216( y0)，16 x2所以 dx表示以原点为圆心，4016 x2半径为 4的圆的面积的 ，14所以 dx 4 24 .4016 x2 14答案：4 14已知函数 f(x) x22 axln x，若 f(x在区间 上是增函数，则实数 a的取值12 13， 2范围为_解析：由题意知 f(x
6、) x2 a 0 在 上恒成立，即 2a x 在 上恒成1x 13， 2 1x 13， 2立又 y x 在 上单调递减，1x 13， 2 max ，( x1x) 832 a ，即 a .83 43答案： 43， )15已知函数 f(x)ln x，则函数 g(x) f(x) f(x)在区间2， e上的最大值为_解析：因为 f(x) ln x，所以 f( x) ，则 g(x) f(x)f( x) ln x ，函数 g(x)1x 1x的定义域为(0，)，g(x ) 0在 x(0，)上恒成立，所以函数 g(x)在1x 1x2(0，)上是增函数，所以 g(x)在区间2， e上的最大值 g(x)maxg(
7、 e) ln e 1 .1e 1e6答案：11e16已知 yf(x)为 R上的连续可导函数，且 xf( x) f(x)0，则函数 g(x) xf(x)1( x0)的零点个数为_解析：设 F(x) xf(x)，则 F( x) f(x) xf( x)0在 R上恒成立，且 F(0)0，所以F(x) xf(x)0在(0，)上恒成立，所以在(0，)上 g(x) xf(x)11 恒成立，则函数 g(x) xf(x)1 的零点个数为 0.答案：0B组 大题规范练1已知函数 f(x) .ex 1x(1)判断函数 f(x)的单调性；(2)求证：e xln(x1) x2ln( x1)解析：(1)由已知得 f(x)
8、的定义域为 x|x0，f( x) ，exx ex 1x2 x 1 ex 1x2设 g(x)( x1)e x1，则 g( x) xex，令 g( x)0，得 x0， g(x)在(，0)上是减函数，在(0，)上是增函数， g(x) g(0)0， f( x)0， f(x)在(，0)和(0，)上都是增函数(2)证明：设 h(x) xln( x1)， x1，则 h( x)1 ，令 h( x)0，得 x0，1x 1 xx 1 h(x)在(1,0)上是减函数，在(0，)上是增函数， h(x) h(0)0，即 xln( x1)当 x0时， xln( x1)0， f(x)在(0，)上是增函数， f(x) f(l
9、n(x1)，即 ，(e x1)ln( x1) x2.ex 1x xln x 1当1 xln( x1)， f(x)在(，0)上是增函数， f(x) f(ln(x1)，即 ，(e x1)ln( x1) x2.ex 1x xln x 1当 x0 时，(e x1)ln( x1) x20.由可知，对一切 x1，均有(e x1)ln( x1) x2，即 exln(x1) x2ln( x1)72已知函数 f(x) (aR)，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线与直线 x y10ln xx a垂直(1)试比较 2 0162 017与 2 0172 016的大小，并说明理由；(2)若函数 g(x) f
10、(x) k有两个不同的零点 x1， x2，证明： x1x2e2.解析：(1)2 016 2 0172 0172 016.理由如下：依题意得， f( x) ，x ax ln x x a 2因为函数 f(x)在 x1 处有意义，所以 a1.所以 f(1) ，1 a 1 a 2 11 a又由过点(1， f(1)的切线与直线 x y10 垂直可得， f(1)1，即 1，解得11 aa0.此时 f(x) ， f( x) ，ln xx 1 ln xx2令 f( x)0，即 1ln x0，解得 0e.所以 f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，)所以 f(2 016)f(2 017)，即
11、，ln 2 0162 016 ln 2 0172 017则 2 017ln 2 0162 016 ln 2 017，所以 2 0162 0172 0172 016.(2)证明：不妨设 x1x20，因为 g(x1) g(x2)0，所以 ln x1 kx10，ln x2 kx20.可得 ln x1ln x2 k(x1 x2)，ln x1ln x2 k(x1 x2)，要证 x1x2e2，即证 ln x1ln x22，也就是 k(x1 x2)2，因为 k ，所以只需证 ，ln x1 ln x2x1 x2 ln x1 ln x2x1 x2 2x1 x2即 ln ，令 t，则 t1，即证 ln t .x1
12、x22 x1 x2x1 x2 x1x2 2 t 1t 1令 h(t)ln t (t1)由 h( t) 0，2 t 1t 1 1t 4 t 1 2 t 1 2t t 1 2得函数 h(t)在(1，)上是增函数，所以 h(t)h(1)0，即 ln t .2 t 1t 1所以 x1x2e2.83已知函数 f(x)2ln x x22 ax(a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)有两个极值点 x1， x2(x12时， 0，方程 x2 ax10 有两个不同的实根，分别设为 x3， x4，不妨令x30，当 x( x3， x4)时，f( x)0，所以函数 f(x)在 上单调递增，在 上
13、单调递减，在(0，a a2 42 ) (a a2 42 ， a a2 42 )上单调递增(a a2 42 ， )(2)由(1)得 f(x)在( x1， x2)上单调递减， x1 x2 a， x1x21，则 f(x1) f(x2)2ln ( x1 x2)(x1 x22 a)2ln 2ln ，x1x2 x1x2 x2 x21x1x2 x1x2 x2x1 x1x2令 t ，则 00，1 x 1 2 e2x 1 x 1 2 F( x)在0，)上单调递增，所以 F( x) F(0)0， F(x)在0，)上单调递增，所以 F(x) F(0)0.(2)原问题等价于 x00，使得 e2x0ln( x0 a)
14、x 0， u( x)在0，)上单调递增，1 x a 2 u( x) u(0)2 ，1a当 a 时， u(0)2 0，12 1a u(x)在0，)上单调递增， u(x)min u(0)1ln ae.当 a0x ，令 h( x)ln .12 (x 12)设 g(x)e 2x x2 (x0)，(x12)则 g( x)2e 2x2 x1，g( x)4e 2x2420， g( x)在0，)上单调递增， g( x)g(0)10， g(x)在0，)上单调递增， g(x)g(0)0，e 2x x2x ln ln(x a)，12 (x 12)当 a2ln(x a) x2在 x0，)上恒成立，不合题意12综上可得， a的取值范围是(e，)11
