1、1第 2讲 圆锥曲线的综合问题A组 小题提速练一、选择题1已知双曲线 1( b0)的离心率等于 b，则该双曲线的焦距为( )x24 y2b2 33A2 B25 6C6 D8解析：设双曲线的焦距为 2c.由已知得 b，c2 33又 c24 b2，解得 c4，则该双曲线的焦距为 8.答案：D2双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y2 x，则双曲线 C的离心率是( )x2a2 y2b2A. B.5 2C2 D.52解析：由双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y2 x，可得x2a2 y2b22， e .故选 A.ba ca 1 (ba)2 5答案：A3(2018合肥
2、质检)若双曲线 C1： 1 与 C2： 1( a0， b0)的渐近线相同，x22 y28 x2a2 y2b2且双曲线 C2的焦距为 4 ，则 b( )5A2 B4C6 D8解析： C1的渐近线为 y2 x，即 2.ba又2 c4 ， c2 .5 5由 c2 a2 b2得，20 b2 b2， b4.14答案：B4已知抛物线 y26 x的焦点为 F，准线为 l，点 P为抛物线上一点，且在第一象限，PA l，垂足为 A，| PA|2，则直线 AF的倾斜角为( )2A. B.43 23C. D.34 56解析：由抛物线方程得 F .(32， 0)| PF| PA|2， P点的横坐标为 2 .32 12
3、 P在抛物线上，且在第一象限，点 P的纵坐标为 ，3点 A的坐标为 ，(32， 3) AF的斜率为 ，0 332 ( 32) 33 AF的倾斜角为 ，故选 D.56答案：D5已知抛物线 y28 x的焦点为 F，直线 y k(x2)与此抛物线相交于 P， Q两点，则 ( )1|FP| 1|FQ|A. B112C2 D4解析：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，由题意可知，| FP| x12，| FQ| x22，则 ，联立直线与抛物线方程消去 y，得1|FP| 1|FQ| 1x1 2 1x2 2 x1 x2 4x1x2 2 x1 x2 4k2x2(4 k28) x4 k20，可知 x1x
4、24，故 1|FP| 1|FQ| x1 x2 4x1x2 2 x1 x2 4 .x1 x2 42 x1 x2 8 12答案：A6若对任意 kR，直线 y kx10 与椭圆 1 恒有公共点，则实数 m的取值范围x22 y2m是( )A(1,2 B1,2)C1,2)(2，) D1，)3解析：联立直线与椭圆的方程，消去 y得(2 k2 m)x24 kx22 m0，因为直线与椭圆恒有公共点，所以 16 k24(2 k2 m)(22 m)0，即 2k2 m10 恒成立，因为 kR，所以 k20，则 m10，所以 m1，又 m2，所以实数 m的取值范围是1,2)(2，)答案：C7已知抛物线 y24 x的焦
5、点为 F， A， B是抛物线上横坐标不相等的两点若 AB的垂直平分线与 x轴的交点是(4,0)，则| AB|的最大值为( )A2 B4C6 D10解析：因为 F(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(4,0)，由| MA|2| MB|2得(4 x1)2 y (4 x2)2 y ，又 y 4 x1， y 4 x2，代入中并展开得21 2 21 2168 x1 x y 168 x2 x y ，即 x x 4 x14 x2，得 x1 x24，所以21 21 2 2 21 2|AB| AF| BF| 6，当且仅当 A， B， F三点共线时等号成立，所以(x1p2) (x2 p2
6、)|AB|max6，故选 C.答案：C8(2018长沙模拟) P是双曲线 C： y21 右支上一点，直线 l是双曲线 C的一条渐x22近线， P在 l上的射影为 Q， F1是双曲线 C的左焦点，则| PF1| PQ|的最小值为( )A1 B2155C4 D2 1155 2解析：设 F2是双曲线 C的右焦点，因为| PF1| PF2|2 ，所以2|PF1| PQ|2 | PF2| PQ|，显然当 F2， P， Q三点共线且 P在 F2， Q之间时，2|PF2| PQ|最小，且最小值为 F2到 l的距离易知 l的方程为 y 或x2y ， F2( ，0)，求得 F2到 l的距离为 1，故| PF1|
7、 PQ|的最小值为 2 1.选 D.x2 3 2答案：D9过椭圆 C： 1( a b0)的左顶点 A且斜率为 k的直线交椭圆 C于另一点 B，且x2a2 y2b2点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F.若 k ，则椭圆 C的离心率的取值范围是( )13 124A( ， ) B( ，1)14 34 23C( ， ) D(0， )12 23 12解析：由题图可知，| AF| a c，| BF| ，于是 k .又 k ，所以a2 c2a a2 c2a a c 13 12 ，化简可得 ，从而可得 e ，选 C.13 a2 c2a a c 12 13 1 e21 e 12 12 23答案：C10已知 M
8、(x0， y0)是双曲线 C： y21 上的一点， F1， F2是 C的两个焦点若 x22 MF1 e2)，则 e12 e2的最小值是( )A. B.3 224 32C. D.238解析：当动圆 M与圆 O1、 O2都相内切时，| MO2| MO1|4 r2 a， e1 .24 r当动圆 M与圆 O1相内切，与圆 O2相外切时，|MO1| MO2|4 r2 a， e2 ，24 r e12 e2 ，24 r 44 r 24 2r16 r2令 12 r t(100)上一点， P到直线 x y40 的距离为 d1， P到 E的准线的距离为 d2，且 d1 d2的最小值为 3 .2(1)求抛物线 E的
9、方程；(2)直线 l1： y k1(x1)交 E于点 A， B，直线 l2： y k2(x1)交 E于点 C， D，线段7AB， CD的中点分别为 M， N，若 k1k22，直线 MN的斜率为 k，求证：直线l： kx y kk1 kk20 恒过定点解析：(1)抛物线 E的焦点为 F ，由抛物线的定义可得 d2| PF|，(p2， 0)则 d1 d2 d1| PF|，其最小值为点 F到直线 x y40 的距离， 3 ，解得 p4 或 p20(舍去)，|p2 4|2 2抛物线 E的方程为 y28 x.(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error!可得 k x2(2 k 8)
10、x k 0，21 21 21则 x1 x2 ，所以 y1 y2 k1(x11) k1(x21) k1(x1 x2)2 k1 2 k12k21 8k21 2k21 8k1 ，2k21 8 2k21k1 8k1线段 AB的中点 M的坐标为 ，(k21 4k21， 4k1)同理可得点 N的坐标为 ，(k2 4k2， 4k2)直线 MN的斜率 k ，则 k(k1 k2)2，4k1 4k2k21 4k21 k2 4k2 2k1 k2直线 l的方程 kx y kk1 kk20 可化为 y kx k(k1 k2)，即 y kx2.令 x0，可得 y2，直线 l恒过定点(0,2)2已知椭圆 C： 1( ab0
11、)的离心率为 ，左焦点为 F(1,0)，过点 D(0,2)且斜x2a2 y2b2 22率为 k的直线 l交椭圆于 A， B两点(1)求椭圆 C的标准方程；(2)在 y轴上，是否存在定点 E，使 恒为定值？若存在，求出 E点的坐标和这个定值；AE BE 若不存在，说明理由解析：(1)由已知可得Error!解得 a22， b21，所以椭圆 C的标准方程为 y21.x22(2)设过点 D(0,2)且斜率为 k的直线 l的方程为 y kx2，由Error! 消去 y整理得(12 k2)x28 kx60，8设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .8k1 2k2 61
12、 2k2又 y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4 .2k2 42k2 1y1 y2( kx12)( kx22) k(x1 x2)4 .42k2 1设存在点 E(0， m)，则 ( x1， m y1)，AE ( x2， m y2)，BE 所以 x1x2 m2 m(y1 y2) y1y2 m2 m AE BE 62k2 1 42k2 1 2k2 42k2 1. 2m2 2 k2 m2 4m 102k2 1要使得 t(t为常数)，AE BE 只需 t，从而(2 m222 t)k2 m24 m10 t0， 2m2 2 k2 m2 4m 102k2 1即Error!
13、解得 m ，从而 t ，114 10516故存在定点 E ，使 恒为定值 .(0，114) AE BE 105163已知 M为椭圆 C： 1 上的动点，过点 M作 x轴的垂线，垂足为 D，点 P满足x225 y29 .PD 53MD (1)求动点 P的轨迹 E的方程；(2)若 A， B两点分别为椭圆 C的左、右顶点， F为椭圆 C的左焦点，直线 PB与椭圆 C交于点 Q，直线 QF， PA的斜率分别为 kQF， kPA，求 的取值范围kQFkPA解析：(1)设 P(x， y)， M(m， n)，依题意知 D(m,0)，且 y0.由 ，得( m x， y) (0， n)，PD 53MD 53则有
14、Error! Error!又 M(m， n)为椭圆 C： 1 上的点，x225 y29 1，即 x2 y225，x225 (35y)29故动点 P的轨迹 E的方程为 x2 y225( y0)9(2)依题意知 A(5,0)， B(5,0)， F(4,0)，设 Q(x0， y0)，线段 AB为圆 E的直径， AP BP，设直线 PB的斜率为 kPB，则 kPA ，1kPB kQFkPB kQFkQB kQFkPA kQF 1kPB y0x0 4 y0x0 5 y20 x0 4 x0 5 ，9(1 x2025) x0 4 x0 5925 x20 25 x0 4 x0 5925 x0 5x0 4 92
15、5(1 1x0 4)点 P不同于 A， B两点且直线 QF的斜率存在，5b0)的离心率 e ，顶点为 A1， A2， B1， B2，且 x2a2 y2b2 32 A1B1 3.A1B2 (1)求椭圆 C的方程；(2)P是椭圆 C上除顶点外的任意点，直线 B2P交 x轴于点 Q，直线 A1B2交直线 A2P于点 E.设直线 A2P的斜率为 k，直线 EQ的斜率为 m，试问 2m k是否为定值？并说明理由解析：(1)因为 e ，所以 ，32 ca 32由题意得 A1( a,0)， B1(0， b)， B2(0， b)，所以 ( a， b)， ( a， b)A1B1 A1B2 又 3，所以 a2 b
16、23，所以 c ，A1B1 A1B2 3所以 a2， b 1，a2 c210所以椭圆 C的方程为 y21.x24(2)2m k是定值理由如下：由(1)可知 A1(2,0)， A2(2,0)， B1(0，1)， B2(0,1)因为直线 A2P的斜率为 k，所以直线 A2P的方程为 y k(x2)，其中 k ，且 k0，12联立，得Error!消去 y，得(14 k2)x216 k2x16 k240.因为 xA22，所以 xP ，所以 P ，8k2 21 4k2 (8k2 21 4k2， 4k1 4k2)则直线 B2P的方程为 y x1 4k2 4k 18k2 2 x1 ，2k 12 2k 1 (k 12且 k 0)令 y0，得 x ，所以 Q .2 2k 12k 1 (2 2k 12k 1 ， 0)易得直线 A1B2的方程为 x2 y20，联立，得Error!解得Error! 所以 E ，(2 2k 12k 1 ， 4k2k 1)所以 EQ的斜率 m . 4k2k 12 2k 12k 1 2 2k 12k 1 2k 14所以 2m k2 k ，是定值2k 14 1211
