1、1第 2 讲 概率、随机变量及其分布列A 组 小题提速练一、选择题1某大学有包括甲、乙两人在内的 5 名大学生，自愿参加世博会的服务，这 5 名大学生中3 人被分配到城市足迹馆，另 2 人被分配到沙特馆如果这样的分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一馆的概率是( )A. B.15 25C. D.35 45解析：两个分在同一馆的情况有两类：一类是分到城市足迹馆，其有 C 种分配方法；另一13类是分到沙特馆，共有 1 种分配方法，故其概率为 ，故选 B.3 1C35 25答案：B2由不等式组Error!确定的平面区域记为 1，不等式组Error!确定的平面区域记为 2，在 1中随机取一点，则该点恰
2、好在 2内的概率为( )A. B.18 14C. D.34 78解析：区域 1为直角 AOB 及其内部， S AOB 222.区域 2是直线 x y1 和12x y2 夹成的条形区域(图略)由题意得所求的概率 P .故选S四 边 形 AODCS AOB 2 142 78D.答案：D3袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球，从袋中任取 2个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为( )A. B.521 1021C. D11121解析：从 15 个球中任取 2 个球，取法共有 C 种，其中恰有 1 个白球，1 个红球的取法有215C C 种，所
3、以所求概率为 P ，故选 B.10 15C10C15C215 1021答案：B24下课后教室里最后还剩下 2 位男同学和 2 位女同学，如果没有 2 位同学一块走，则第二次走的是男同学的概率是( )A. B.12 13C. D.14 15解析： ，故选 A.C12A3A4 12答案：A5先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为 x， y，设事件 A 为“ x y 为偶数” ，事件 B 为“ x， y中有偶数且 x y”，则概率 P(B|A)等于( )A. B.13 12C. D.16 14解析：由题意可得 P(
4、A) ， P(AB) ，则 P(B|A) 33 3366 12 3266 16 P ABP A ，故选 A.1612 13答案：A6小明准备参加电工资格证考试，先后进行理论考试和操作考试两个环节，每个环节各有2 次考试机会在理论考试环节，若第 1 次考试通过，则直接进入操作考试；若第 1 次未通过，则进行第 2 次考试，第 2 次通过后进入操作考试环节，第 2 次未通过则直接被淘汰在操作考试环节，若第 1 次考试通过，则直接获得证书；若第 1 次未通过，则进行第2 次考试，第 2 次通过后获得证书，第 2 次未通过则被淘汰若小明每次理论考试通过的概率为 ，每次操作考试通过的概率为 ，并且每次考
5、试相互独立，则小明本次电工考试中，34 23共参加 3 次考试的概率是( )A. B.13 38C. D.23 34解析：由题意得参加 3 次考试包括第一次理论考试通过且第一次操作考试不通过和第一次理论考试不通过且第二次理论考试通过且第一次操作考试通过两种情况，所以所求概率为3 ，故选 B.34 13 14 34 23 38答案：B7口袋内放有大小相同的 2 个红球和 1 个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列 an为 anError! 如果 Sn为数列 an的前 n 项和，那么 S73 的概率为( )AC 2 5 BC 3 427(23)(13) 37(13)(23)CC 4 3 DC 2
6、 547(13)(23) 57(13)(23)解析：由题意 S73 知共摸球七次，只有两次摸到红球，由于每次摸球的结果之间没有影响，摸到红球的概率是 ，摸到白球的概率是 ，故只有两次摸到红球的概率是23 13C 2 5，故选 A.27(23) (13)答案：A8若随机变量 X N( ， 2)( 0)，则有如下结论：P( 17)0.1， P(X14) 0.25，则测试成绩 X(秒)位于13,14的人数大约有_人解析： P(X13) P(X17)0.1，则 P(13 X14) P(X14) P(X13)0.15，则 120人中成绩位于13,14的人数大约为 0.1512018.答案：1816在如图
7、所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为_附：若 X N( ， 2)，则 P( X )0.682 6，P( 2 X 2 )0.954 4.解析：由 P(1 X1)0.682 6，得 P(0 X1)0.341 3，则阴影部分的面积为 0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为 10 000 3 413.0.341 311答案：3 413B 组 大题规范练1为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照627.5,32.5)，32.5，37.5)，37.5,42.5)，42.5,
8、47.5)，47.5,52.5)分为 5 组，其频率分布直方图如图所示(1)求图中 a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代x表)；(3)已知这种植物果实重量不低于 32.5 克的即为优质果实，用样本估计总体若从这种植物果实中随机抽取 3 个，其中优质果实的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)解析：(1)组距 d5，由 5(0.020.040.075 a0.015)1，得 a0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为中点值 30 35 40 45 50频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075300.1350.2
9、400.375450.25500.07540，xs2(10) 20.1(5) 20.20 20.3755 20.2510 20.07528.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率 p0.9，且 X 服从二项分布 B(3,0.9)，P(X0)0.1 30.001，P(X1)C 0.90.120.027，13P(X2)C 0.920.10.243，23P(X3)0.9 30.729，所以 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 0.001 0.027 0.243 0.729故数学期望 E(X) np2.7.2班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从本班 24 名女同学，18 名男同学中随机抽
10、取一个容量为 7 的样本进行分析(1)如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？(写出算式即可，不必计算出结果)(2)如果随机抽取的 7 名同学的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：7学生序号 i 1 2 3 4 5 6 7数学成绩 xi 60 65 70 75 85 87 90物理成绩 yi 70 77 80 85 90 86 93若规定 85 分以上(包括 85 分)为优秀，从这 7 名同学中抽取 3 名同学 ，记 3 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 ，求 的分布列和数学期望；根据上表数据，求物理成绩 y 关于数学成绩 x 的线性回归方程(系数精确到 0.01)，若班上
11、某位同学的数学成绩为 96 分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：线性回归方程 x ，其中 ，y b a b ni 1 xi x yi yni 1 xi x 2 .a y b xx y(xi )27i 1 x (xi )(yi )7i 1 x y76 83 812 526解析：(1)依据分层抽样的方法，24 名女同学中应抽取的人数为 244,18 名男同学中742应抽取的人数为 183，742故不同的样本的个数为 C C .42 318(2)7 名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为 3， 的取值为 0,1,2,3. P( 0) ，C34C37 435P( 1) ，C24C13C37 1835
12、P( 2) ，C14C23C37 1235P( 3) .C3C37 135 的分布列为： 0 1 2 3P 435 1835 1235 1358 E( )0 1 2 3 .435 1835 1235 135 97 0.65， 830.657633.60.b 526812 a y b x线性回归方程为 0.65 x33.60.y 当 x96 时， 0.659633.6096.y 可预测该同学的物理成绩为 96 分3为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在地处山区的 A 县推进光伏发电项目在该县山区居民中随机抽取 50 户，统计其年用电量得到以下统计表以样本的频率
13、作为概率.用电量(单位：度) (0,200 (200,400 (400,600 (600,800 (800,1 000户数 5 15 10 15 5(1)在该县山区居民中随机抽取 10 户，记其中年用电量不超过 600 度的户数为 X，求 X 的数学期望；(2)已知该县某山区自然村有居民 300 户若计划在该村安装总装机容量为 300 千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以 0.8 元/度的价格进行收购经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电 1 000 度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？解析：(1)记在抽取的 50
14、户居民中随机抽取 1 户，其年用电量不超过 600 度为事件 A，则P(A) .35由已知可得从该县山区居民中随机抽取 10 户，记其中年用电量不超过 600 度的户数为X， X 服从二项分布，即 X B ，(10，35)故 E(X)10 6.35(2)设该县山区居民户年均用电量为 E(Y)，由抽样可得E(Y)100 300 500 700 900 500(度)550 1550 1050 1550 550则该自然村年均用电量约 150 000 度又该村所装发电机组年预计发电量为 300 000 度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约 150 000 度，能为该村创造直接收益 1
15、50 0000.8120 000 元4 最强大脑是江苏卫视借鉴德国节目Super Brain推出的大型科学竞技类真人秀节目，是专注于传播脑科学知识和脑力竞技的节目某机构为了了解大学生喜欢最强大脑9是否与性别有关，对某校的 100 名大学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢最强大脑 不喜欢最强大脑 总计男生 10女生 20总计已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到不喜欢最强大脑的大学生的概率为 0.4.(1)请将上述列联表补充完整；(2)判断在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下能否认为喜欢最强大脑与性别有关，并说明你的理由；(3)已知在被调查的大学生中有 5 名是大一学生，其中 3
16、名喜欢最强大脑 ，现从这 5 名大一学生中随机抽取 2 人，抽到喜欢最强大脑的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望下面的临界值表仅供参考：P(K2 k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式： K2 ，其中 n a b c d)n ad bc 2 a b c d a c b d解析：(1)因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到不喜欢最强大脑的大学生的概率为 0.4，所以不喜欢最强大脑的大学生人数为 1000.440，其中男生有 10 人，则女生有 30人，列联表补充如下：喜欢最强大脑 不喜欢最强大脑 总计男生 40 10 50女生 20 30 50总计 60 40 100(2)由表中数据得K2100 4030 2010 26040505016.66710.828，所以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下能认为喜欢最强大脑与性别有关(3)X 的所有可能取值为 0,1,2.依题意知， X 服从超几何分布，所以 P(X0) ，C03C2C25 110P(X1) ，C13C12C25 610 3510P(X2) .C23C02C25 310所以 X 的分布列为X 0 1 2P 110 35 310故数学期望 E(X)0 1 2 .110 35 310 65
