1、1第 1讲 小题考法函数的图象与性质一、主干知识要记牢函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f( x) f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f( x) f(x)成立，则 f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x的值：若 f(x T) f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数， T是它的一个周期二、二级结论要用好1函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当 f(x)， g(x)同为增(减)函数时， f(x) g(x)为增(减)函数(2)奇函数在
2、关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性. (3)f(x)为奇函数 f(x)的图象关于原点对称；f(x)为偶函数 f(x)的图象关于 y轴对称(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数(5)定义在(，)上的奇函数的图象必过原点，即有 f(0)0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数： f(x)0(6)f(x) f( x)0 f(x)为奇函数； f(x) f( x)0 f(x)为偶函数2抽象函数的周期性与对称性的结论(1)函数的周期性若函数 f(x)满足 f(x a) f(x a)，则 f
3、(x)是周期函数， T2 a若函数 f(x)满足 f(x a) f(x)，则 f(x)是周期函数， T2 a若函数 f(x)满足 f(x a) ，则 f(x)是周期函数， T2 a1f x(2)函数图象的对称性若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于直线 x a对称2若函数 y f(x)满足 f(a x) f(a x)，即 f(x) f(2a x)，则 f(x)的图象关于点( a,0)对称若函数 y f(x)满足 f(a x) f(b x)，则函数 f(x)的图象关于直线 x 对a b2称3函数图象平移变换的相关结论(1)把 y
4、 f(x)的图象沿 x轴左右平移| c|个单位( c0 时向左移， c0 时向右移)得到函数 y f(x c)的图象( c为常数)(2)把 y f(x)的图象沿 y轴上下平移| b|个单位( b0 时向上移， b0 时向下移)得到函数 y f(x) b的图象( b为常数)三、易错易混要明了1求函数的定义域时，关键是依据含自变量 x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏2求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“和”连接或用“， ”隔开单调区间必须是“区间” ，而不能用
5、集合或不等式代替3判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响4用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题5分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数考点一 函数的概念及表示1函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可2分段函数问题的 5种常见类型及解题策略常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个
6、区间上的最值，然后比较大小3解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理” ，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解1(2018邵阳模拟)设函数 f(x)log 2(x1) ，则函数 f 的定义域为( B )2 x (x2)A(1,2 B(2,4C1,2 D2,4)解析 f(x)的定义域为Error!1 x2, 故 1 2,2 x4, 所以选 Bx22(2018南充三联)已知函数 f(x)Error!则 f(2 018)_1_008_解析 函数 f(x)Error!则 f(2 0
7、18) f(2 016)1 f(2 014)2 f(0)1 009121 0091 008, 故答案为 1 0083(2018百校联盟 4月联考)已知 f(x)Error!若 f(1 a) f(1 a)(a0)，则实数 a的值为_1_解析 a0，1 a1,1 a1，由 f(1 a) f(1 a)得 2 a ，即1aa22 a10，所以 a1考点二 函数的图象及应用由函数解析式识别函数图象的策略41(2018郴州二模)函数 f(x)ln x x2的大致图象是( A )18解析 因为 f( x) x ，所以 0 x2， f( x)0， x2， f( x)0，1x 14 4 x24x函数在(0,2)
8、上是增函数，(2，)上是减函数，故 C，D 选项错误，又 f(2)ln 2 ln 2ln e ln ln 10，故选 A12 12 2e2(2018江门一模)函数 y sin x的部分图象大致为( A )1 ln |x|1 ln |x|解析 设 f(x) sin x，1 ln |x|1 ln |x|由 1ln | x|0 得 x ，则函数的定义域为1e ( ， 1e) ( 1e， 1e) (1e， ) f( x) sin ( x)1 ln | x|1 ln | x| sin x f(x)，1 ln |x|1 ln |x|函数 f(x)为奇函数，排除 D又 1 ，且 f(1)sin 10，故可排
9、除 B ，1e 1e2 1e且 f sin sin 3sin 0，故可排除(1e2)1 ln|1e2|1 ln|1e2| 1e2 1 21 2 1e2 1e25C选 A3已知 f(x)Error!则方程 2f2(x)3 f(x)10 解的个数是_5_解析 方程 2f2(x)3 f(x)10 的解为 f(x) 或 1.作出 y f(x)的图象，由图象12知方程解的个数为 5考点三 函数的性质及应用函数 3个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上尤其注意偶函数 f(x)的性质： f(|x|)
10、f(x)(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解1(2018山西联考)若函数 f(x)Error!为奇函数，则 f(g(2)( D )A2 B1C0 D2解析 设 x0，则 x0，故 f( x)2 x2 f(x)，故 x0 时， f(x)22 x，由 g(2) f(2)242，故 f(g(2) f(2) f(2)2，故选 D2(2018雅安三诊)已知函数 f(x) x37 xsin x，若 f(a2) f(a2)0，则实数 a的取值范围是( D )A(，1) B(，
11、3)C(1,2) D(2,1)解析 函数 f(x) x37 xsin x， f( x) x37 xsin x f(x)，即函数 f(x)在 R上为奇函数 f( x)3 x27cos x， f( x)3 x27cos x0 恒成立，即函数 f(x)在 R上为减函数6 f(a2)f(a2)0， f(a2) f(a2) f(2 a)， a22 a，即 a2 a202 a1，故选 D3(2018石嘴山二模)已知 f(x)是定义在 R上的奇函数，且 f(x4) f(x)，当0 x2 时， f(x)2 x1，则 f(21) f(16)_1_解析 f(21) f(1) f(1)1， f(16) f(0)0， f(21) f(16)1，故答案为14(2018延边模拟)若函数 f(x)Error!(a0， a1)，当 x1， x2R， x1 x2，时有( x1 x2)f(x1) f(x2)0 恒成立，则 a的取值范围是_(2,3_解析 由( x1 x2)f(x1) f(x2)0 恒成立，得函数 f(x)是增函数，Error!解得2 a3.故答案为(2,3
