1、12.5 二次函数与一元二次方程第 1 课时 二次函数与一元二次方程1经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；(重点)2理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根；(重点)3通过观察二次函数与 x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想(难点)一、情境导入一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示现测得，当水面宽 AB1.6m 时，涵洞顶点与水面的距离 OC2.4m.当水位上升一定高度到达点 F 时，这时，离水面距离CF1.5m，则涵洞宽 ED 是多少？是否会超过 1m
2、?根据已知条件，要求 ED 宽，只要求出FD 的长度在如图所示的直角坐标系中，只要求出点 D 的横坐标即可由已知条件可得到点 D 的纵坐标，又因为点 D 在涵洞所成的抛物线上，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标你会求吗？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程 【类型一】 求抛物线与 x 轴的交点坐标已知二次函数 y2 x24 x6，它的图象与 x 轴交点的坐标是_解析： y2 x24 x62( x22 x3)2( x3)( x1)，设 2(x3)( x1)0，解得 x13， x21，它的图象与 x 轴交点的坐标是(3，0)，(1，0)故答案为(3，0)，(1，0)方法
3、总结：抛物线与 x 轴的交点的横坐标，就是二次函数为 0 时，一元二次方程的解变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 6 题【类型二】 判断抛物线与 x 轴交点的个数已知关于 x 的二次函数y mx2( m2) x2( m0)(1)求证：此抛物线与 x 轴总有两个交点；(2)若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值解析：(1)只需证明 ( m2)24 m20 即可；(2)利用因式分解法求得抛物线与 x 轴交点的横坐标，然后根据x 的值来求正整数 m 的值(1)证明： m0，( m2)24 m2 m24 m48 m( m2)2.( m2) 20，0，此
4、抛物线与x 轴总有两个交点；(2)解：令 y0，则( x1)( mx2)0，所以 x10 或 mx20，解得 x11， x2 .当 m 为正整数 1 或 2 时， x22m为整数，即抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数 m的值为 1 或 2.方法总结：解答本题的关键是明确当根的判别式 0 抛物线与 x 轴有两个交点变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 8 题2【类型三】 已知抛物线与 x 轴的交点个数，求字母系数的取值范围已知函数 y( k3) x22 x1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围解析：应分 k30 和 k30 两种情况进行讨论，(1)当
5、 k30 即 k3 时，此函数是一次函数；(2)当 k30，即k3 时，此函数是二次函数，根据函数图象与 x 轴有交点可知 b24 ac0，求出 k 的取值范围即可解：当 k3 时，函数 y2 x1 是一次函数一次函数 y2 x1 与 x 轴有一个交点， k3；当 k3 时， y( k3) x22 x1 是二次函数二次函数 y( k3) x22 x1的图象与 x 轴有交点， b24 ac0. b24 ac2 24( k3)4 k16，4 k160. k4 且k3.综上所述， k 的取值范围是 k4.方法总结：由于 k 的取值范围不能确定，所以解决本题的关键是要注意分类讨论，不要漏解变式训练：见
6、学练优本课时练习“课后巩固提升”第 5 题【类型四】 二次函数与一元二次方程的判别式、根与系数的关系的综合已知：抛物线 y x2 ax a2.(1)求证：不论 a 取何值时，抛物线y x2 ax a2 与 x 轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与 x 轴相交于 A(x1，0)， B(x2，0)，且 x1、 x2的平方和为 3，求 a 的值解析：(1)利用关于 x 的一元二次方程x2 ax a20 的根的判别式的符号进行证明；(2)利用根与系数的关系写出 x1、 x2的平方和是 x x ( x1 x2)21 222 x1x2 a22 a43，由此可以求得 a的值(1)证明： a24
7、( a2)( a2)240，不论 a 取何值时，抛物线y x2 ax a2 与 x 轴都有两个不同的交点；(2)解： x1 x2 a， x1x2 a2， x x21 2( x1 x2)22 x1x2 a22 a43， a1.方法总结：判断一元二次方程与 x 轴的交点，只要看根的判别式的符号即可，而要判断一元二次方程根的情况，要利用根与系数关系变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 6 题探究点二：利用二次函数解决运动中的抛物线问题如图，足球场上守门员在 O 处开出一高球，球从离地面 1 米的 A 处飞出( A在 y 轴上)，运动员乙在距 O 点 6 米的 B 处发现球在自己头的正上方达
8、到最高点 M，距地面约 4 米高，球落地后又一次弹起据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半(1)求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；(2)足球第一次落地点 C 距守门员多少米(取 4 7)?3(3)运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米(取 2 5)?6解析：要求足球开始飞出到第一次落地时，抛物线的表达式，则需要根据已知条件确定点 A 和顶点 M 的坐标，因为OA1， OB6， BM4，所以点 A 的坐标为(0，1)，顶点 M 的坐标是(6，4)根据顶点式可求得抛物线关系式因为点 C 在 x轴上，所以要求 OC 的长，只
9、要把点 C 的纵坐标 y0 代入函数关系式，通过解方程求得 OC 的长要计算运动员乙要抢到第二个落点 D，他应再向前跑多少米，实际就是求DB 的长求解的方法有多种3解：(1)设第一次落地时，抛物线的表达式为 y a(x6) 24，由已知：当 x0 时， y1，即136 a4，所以 a .112所以函数表达式为 y (x6)11224 或 y x2 x1；112(2)令 y0，则 (x6) 240，112所以( x6) 248，所以x14 613， x24 60(舍去)3 3所以足球第一次落地距守门员约 13 米；(3)如图，第二次足球弹出后的距离为CD，根据题意： CD EF(即相当于将抛物线
10、AEMFC 向下平移了 2 个单位)所以 2 (x6) 24，解得112x162 ， x262 ，6 6所以 CD| x1 x2|4 10.6所以 BD1361017(米)方法总结：解决此类问题的关键是先进行数学建模，将实际问题中的条件转化为数学问题中的条件常有两个步骤：(1)根据题意得出二次函数的关系式，将实际问题转化为纯数学问题；(2)应用有关函数的性质作答三、板书设计二次函数与一元二次方程1.二次函数与一元二次方程2.利用二次函数解决运动中的抛物线问题本节课注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作学习来主动发现问题、提出问题、解决问题，实现师生互动，通过这样的教学实践取得一定的教学效果，再次认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学素养和学习习惯，让学生学会学习，使他们能够在独立思考与合作学习交流中解决学习中的问题.
